排列组合与二项式定理综合提升讲义.doc

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1、排列组合与二项式定理综合提升讲义考点整合一．两个原理.1.乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。二．排列：元素是有顺序的排列数公式或；，规定。性质公式：三．组合：元素没有顺序之分组合数公式：两个性质：①②四．排列、组合（7大方法+2大原则）1.直接法（分类相加，分步相乘）2.间接法（互斥事件）3.捆绑法4.插空法5.隔板法6.分类讨论法7.单排法1.先选后排原则2.特殊优先原则五．二项式定理；公式右边的多项式叫做的二项展开式；展开式中各项的系数叫做二项式系数；二项展开式的通项：。的展开式：；若令，则有：，此为二项式系数之和！二项展开式中

2、各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.典例解析：排列组合计算和证明一．计算下列各题：1.；　　2.；3.　；　4.5.．6.求()的个位数字．7.；8.设求的值解：1.；2.原式；3.原式；4.∵，∴．5.由∴原式．；6.当时，的个位数为0，∴()的个位数字与的个位数字

3、相同．而，∴的个位数字为3．7.原式；8.解：由题意可得：，解得，∵，∴或或，当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．∴所求值为4或7或11．二．解方程：（1）；（2）；（3）3．解不等式：．解：（1）由原方程得或，∴或，又由得且，∴原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为，即，∴，∴，∴，解得或，经检验：是原方程的解（3）由排列数公式得：，∵，∴，即，解得或，∵，且，∴原方程的解为．（4）原不等式即，也就是，化简得：，解得或，又∵，且，所以，原不等式的解集为．三．化

4、简：⑴；⑵⑴解：原式⑵提示：由，得，原式说明：．四．求证：1.；2.．3.．4.＝++．5.…（其中）。6.…。7.…。证明：1.，∴原式成立2.右边∴原式成立3..∵，＝＝∴4..右边左边5.设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：男同学0个，1个，…，个，则女同学分别为个，个，…，0个，共有选法数为…。又由组合定义知选法数为，故等式成立。6.左边=…=…，其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类（…

5、），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。7.由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。∴共有+种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。排

6、列组合解法一．直接法（分类相加，分步相乘）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法.同理，完成第二类办法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有种方法.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有(　　)A．24种B

7、．36种C．38种D．108种[解析]　本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，由分步乘法计数原理共有2CAC＝36(种)．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共

8、有多少种？×○○○○○○×○○×○○○○○○○×○×○○○○○○○○×○×○○○○○○×○○×○○○○○○○×○○×○○○○○○×解法一如表格所示，用×表示种植作物的地垄，О表示未种植作物的地