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1、专题一实数第一讲数的整除（一）一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，2
2、2743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。求x,y例2己知五位数能被12整除，求X例3求能被11整
3、除且各位字都不相同的最小五位数16_________________________________________________________________________________________________________________三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥102962若四位数能被3整除，那么a=_______________3若五位数能被11整除，那么 X＝__________-4当 m=_________时，能被25整除5
4、当n=__________时，能被7整除6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个
5、。10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11己知五位数能被15整除，试求A的值。12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）16_________________________________________________________________________________________________________________第二讲数的整除（二）一、内容提
6、要在第一讲部分的我们介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴ n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a且ac, 则 a(bc).⑶ 若a, b互质，且ac,bc， 则abc.反过来也成立：a, b互质， abc， 则ac,bc.例如：8和15互质，8｜a,15
7、a， 则120｜a.反过来也成
8、立： 若120｜a. 则 8｜a,15
9、a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn. 得(a－b)
10、(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1. (a+b)
11、(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)
12、(a2n－b2n). 概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+
13、1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）
14、(a6－b6), (a－b)
15、(a8－b8)；(a+b)
16、(a5
