初中奥数系列：4.1.1实数基本概念及化简

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1、实数基本概念及化简内容基本要求略高要求较咼要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值板块一平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类:'正整数'0负整数'正分数负分

2、数有理数整数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数'正无理数”负无理数丿实数与数轴上的点对应.（以下槪念均在实数域范围内讨论）平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.也就是说，若则兀就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可用符号表示为“±«".算术平方根：一个正数d有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“丽''；0有一个平方根，就是0,0的算术平方根也是0,负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内

3、容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若^>0,则V^>0.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.通过验算我们可以知道：⑴当被开方数扩大(或缩小川2倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小”倍(/7>0).⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：*①若a>0fW'](V^)2=ci:②不管a为何值，总有J^"=

4、a

5、h"°一°)-a

6、(a<0)■注意二者之间的区别及联系.⑶若一个非负数a介于另外两个非负数q、$之间，即0

7、a”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(犬于0)扩大(或缩小川彳倍，它的立方根相应地扩大(或缩小川倍.(2)/cf=a,(/ciy=a⑶若一个数a介于另外两个数q、勺之间，即a/a<利用这个结论我们可以来估算一个数

8、的立方根的大致范围.一、实数的概念【例1】在实数0,1,72,0.1235中无理数的个数是()A.0B.1C.2D.3【例2】7U,—,-72,79,3.14,0.61414,0.1001000100001••-这7个实数中，无理数的个数是()7A.0B.1C.2D.3【例3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入兀为64时，输出的)，是()A取算术平方根是无理数输出y是有理数A.8B・2x/2C.2j3D.3V2【例4】证明Vi是无理数。【例5】说明边长为1的止方形的对角线的长度为血o【例6】卜而有四个命题：①

9、有理数与无理数之和是无理数.②有理数与无理数之积是无理数.③无理数与无理数之和是无理数.④无理数与无理数之积是无理数.请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【例7】若凹是不等于1的有理数，求证:a-h纟为有理数。b二、数的开方【例8】

10、-9

11、的平方根是（）A.81B.±3C.3D.-3【例9】卜列命题中，真命题是（）B.-49的平方根是±7A.20012的平方根是2001【例10】皿的平方根是;(-2.5)2的平方根是；(-V2)2的平方根是［例11】若人=扣+9「,则4的算术平方根是【例12】判断下

12、列各题，并说明理由⑴阿的平方根是±9.()⑵需一定是正数.()⑶亍的算术平方根是Q.()⑷若J(-a)2=5,则a=-5.()⑸>/9=±3.()⑹-6是(-6)2的平方根.()(7)(-6)2的平方根是-6.()(8)若x2=36f则x—±^36=±6.()⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等.()(10)如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等