学习乘法公式的十个层次.doc

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1、学习乘法公式的十个层次乘法公式是初中数学中极其重要的公式，应用十分广泛．解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的．下面谈谈学习乘法公式的十个层次．一、对号入座，直接套用公式分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，直接套用公式．例1计算：(－85＋13x2)(－85－13x2)．分析两个因式中的－85完全相同，而13x2与－13x2互为相反数，因而可运用平方差公式计算．解原式＝（－85）2－（13x2）2＝7225－169x2．二、连续运用乘法公式例2化简：(a－1)(1＋a)(1＋a2)(－1－a4)．分析观察式子的结构特征

2、，若将（－1－a4）变为－(1＋a4)，可连续运用平方差公式．解原式＝－（a2－1）(a2＋1)（a4＋1）＝－（a4－1）（a4＋1）＝－（a8－1）＝1－a8．三、符号变形后连续运用乘法公式例3化简：(a－2)(－2－a)(4＋a2)(16＋a4)．分析观察式子的结构特征，发现将（－2－a）变为－（a＋2）后，连续运用平方差公式既简单又快捷．解原式＝－(a＋2)(a－2)(a2＋4)(a4＋16)＝－（a2－4)(a2＋4)(a4＋16)＝－（a4＋16）（a4－16）＝256－a8．四、拆项变形后运用乘法公式例4化简：（7x－5y＋3）（－7x－

3、5y－9）．分析若将本题两个因式中的项分别进行拆项变形：前一因式的“3”拆成“－3＋6”，后一因式的“－9”拆成“－3－6”，再通过合理分组，即符合平方差公式的特征，从而巧用公式，简捷求解．解原式＝(7x－5y－3＋6)(－7x－5y－3－6)＝[(－5y－3)＋(7x＋6)][(－5y－3)－（7x＋6）]＝（－5y－3）2－（7x＋6）2＝25y2－49x2＋30y－84x－27．五、添项变形运用乘法公式在不改变原式值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．例5计算：[3(22＋1](24＋1)(28＋1)－216]2018．分析将

4、“3”写成(22－1)，如此变形后即可连续运用平方差公式．解原式＝[(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)－216)2018＝[(24－1)(24＋1)(28＋1)－216]2018＝[(28－1)(28＋1)－216]2018＝[(216－1)－216]2018＝(－1)2018＝1．六、分组结合后逆用乘法公式例6计算：20202－20192＋20182－20172＋…＋10002－9992＋…＋1002－992＋982－972＋…＋22－12．七、变形后逆用乘法公式例7求满足方程5x2－12xy＋10y2－6x－4y＋13＝0的x、y的值

5、．分析观察到，通过配方并逆用完全平方公式将方程左边化成三个完全平方式和的形式，再利用非负数的性质即可．解通过拆项、配方原方程可化为(4x2－12xy＋9y2)＋(x2－6x＋9)＋(y2－4y＋4)＝0，即(2x－3y)2＋(x－3)2＋(y－2)2＝0．八、正逆联用乘法公式根据题设条件和待求式的结构特征，乘法公式既可顺用，又可逆用．例8已知（b－c）2＝(a－b)(c－a)，且a≠c，求的值．分析欲求的值，则需b＋c与a之间的等量关系，而条件等式正好是a、b、c之间的关系式，因此运用完全平方公式和多项式乘法将原式变形，再逆用完全平方公式即可达到求值目

6、的．九、综合运用乘法公式例9正数x、y、z满足xy＋yz＝1022，求x2＋5y2＋4z2的最小值．十、乘法公式变式的应用乘法公式常见的变形有：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；a2＋b2＝（a－b）2＋2ab；a2＋b2＝；；；这些变形公式，在解题中有着广泛的应用．在运用公式时，不应拘泥于公式的形式需要深刻理解、灵活运用．例10已知a＋b＝70，c2＝ab－1225，求a、b、c的值．分析此题运用积化和差公式ab，解题过程极为简捷．解∵ab从而a＝b，c＝0．代入已知式，解得a＝b＝35，c＝0．