妙用勾股定理巧求图形面积.doc

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1、勾股定理知识总结一：勾股定理 ：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）   要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 二：勾股定理的逆定理 ：如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否

2、是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

3、的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直    角三角形；该逆定理给出判定一个

4、三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解．  我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）  妙用勾股定理巧求图形面积例1：如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求。分析：显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证所以

5、四边形BEPD是正方形它的边长可由三角形的面积求得。设PD=PE=PF=m，得即由勾股定理知所以故例2：若a，b为正数，且是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。图2分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。解：作矩形ABCD，如图2，使E、F分别是AB、AD的中点。由勾股定理知：从而可知，就是题目所要求的三角形面积，即例3：

6、已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积。分析：要求梯形的面积，先确定上、下底的长，再求其高。解：以1，2，3，4为边作梯形有以下六种可能：（1）以1，2为底的长；（2）以1，3为底的长；（3）以1，4为底的长；（4）以2，3为底的长；（5）以2，4为底的长；（6）以3，4为底的长。可知只有（3）才能构成梯形，其它都不能构成梯形。如图3，设在梯形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=2，DA=1，过A作AH⊥BC于H，作AE//DC交BC于E，则△ABE是等腰三角形。图3因为所以于是。例

7、4：如图4，在四边形ABCD中，AB＝2，CD=1，∠A＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。图4分析：考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。解：延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。因为∠A=60°所以∠E=30°又AB＝2，CD=1所以AE=2AB=4，CE=2CD=2由勾股定理得所以例5：如图5，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90°，则四

8、边形ABCD的面积是_________。图5解：连结AC，在△ABC中，因为∠ABC=90°，BC=4所以在△ACD中，因为所以可知△ACD也是直角三角形，∠ACD＝90°所以于是