构造等效图形巧求阴影部分的面积

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1、构造等效图形巧求阴影部分的面积通过旋转、平移、对称、拼图等方法，巧构造阴影部分的等效图形，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题。从而提高解题的灵活性。笔者就此抛一块砖以期引玉。一、等效图形是半圆-直角三角形例1、如图1所示，⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，求图中阴影部分的面积。分析：将弓形CD旋转，使CD中的端点C与B重合，易得三角形ACD是直角三角形。所以，阴影部分的面积就等于半圆的面积减去三角形ACD的面积。解：如图2，将弓形CD旋转，使CD中的端点C与B重合，因为⊙O的半径为5cm，所以AD=10cm，又因为弦AB=6cm，CD=8cm，，所以三角形AC

2、D是直角三角形，所以，阴影的面积为：（cm2）。二、等效图形是半圆环例2、如图3所示，从大半圆中剪去一个小半圆，小半圆的直径在大半圆的直径MN上，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN。已知AB=24cm，求阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过平移小半圆，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆环。解：设大半圆、小半圆的半径分别为R、r，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，如图4所示。作OC⊥AB，垂足为点C，则AC=BC=12cm，连接OB，在Rt△OCB中，，所以S阴影=（cm2）。三、等效图形是矩形例3、如图5所示，扇

3、形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，求图形中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点D，顺时针旋转阴影DEB，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------矩形ACDF。解：如图6，将阴影DEB绕点D，顺时针旋转，得到矩形ACDF。因此阴影部分的面积就是矩形ACDF的面积。连接OD，在Rt△OCD中，根据勾股定理得：，所以，所以，AC=OA-OC=，所以阴影部分的面积=矩形ACDF的面积=AC×CD=。四、等效图形是扇环例4，如图7所示，将圆心角为90°的扇形AOB

4、和扇形COD叠放在一起，连接AC、BD。已知OA=3cm，OC=1cm，求图形中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点O，逆时针旋转扇形COD，将不规则图形面积转化成规则图形面积------扇环ACDB。解：如图8，将扇形COD绕点O，逆时针旋转，得到扇环ACDB。因此阴影部分的面积就是扇环ACDB的面积。所以，阴影部分的面积=扇环ACDB的面积=（cm2）。五、等效图形是扇形例5如图9所示，⊙O的直径为AB=10cm，弦CD=EF=5cm，且CD∥EF∥AB，P为AB上的一点，求图中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过等积变形，将不规则图形面积转

5、化成规则图形面积-------扇形。解：如图10，因为CD∥EF∥AB，所以三角形PCD的面积等于三角形OCD的面积，所以直径AB左侧的阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积，又因为直径AB=10，所以OC=OD=CD=5，所以三角形OCD是等边三角形，所以扇形OCD的面积=（cm2）。根据圆的对称性知，直径右侧阴影部分的面积也是（cm2）。所以整个阴影部分的面积为：（cm2）。六、等效图形是半圆例6如图11，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F，则图中阴影部分的面积为。分析：阴影部分的面积是不规则图形，但是可以利用抛物线与

6、圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆。解：如图12，利用抛物线与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆，并且圆的半径为1。因此阴影部分的面积就是半圆的面积。所以，阴影部分的面积=半圆的面积=（cm2）。七、等效图形是圆例7如图13，正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心画与y轴相切的两个圆，若A（2，3），则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　。分析：阴影部分的面积是不规则图形，但是可以利用双曲线、正比例函数与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------圆。

7、解：如图1４，利用双曲线、正比例函数与圆的对称性进行等积变形，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------圆。又因为A（2，3），且与y轴相切，所以圆的半径为２。因此阴影部分的面积就是圆的面积。所以，阴影部分的面积=圆的面积=。所以应该填４π。例８，如图１５，六个等圆分别按照下列三种方式放置，第一种放置方式阴影部分的面积记作Ａ，第二种放置方式阴影部分的面积记作Ｂ，第三种放置方式阴影部分的面积记