《算术平均数与几何平均数》教案全面版.doc

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1、《算术平均数与几何平均数》教案●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝

2、”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab和≥（a＞0，b＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x＞0时，y＝x2＋的最小值

3、，若写成y＝x2＋≥2，就说“最小值为2”是错误的，因为x2·不是定值，而2仍为随x变化而变化的值.正确的解法是：由于x2··＝为定值，故x2＋＝x2＋＋≥3·，即y的最小值为.(3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y＝x2＋凑成y＝x2＋＋.●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张记作§６.2.2　A几个重要的不等式1.a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号.2.（a＞0，b＞0），

4、当且仅当a＝b时取“＝”号.3.≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.4.（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.5.a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.●教学过程Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2A，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab（

5、a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；(2)（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；(3)≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；(4)（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；(5)a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例

6、1］已知x、y都是正数，求证：(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x，y都是正数∴(1)当积xy＝P为定值时，有，即x＋y≥2.上式中，当x＝y时取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2.(3)当和x＋y＝S为定值时，有，即xy≤S2.上式中，当x=y时取“=”号，因此，当

7、x=y时积xy有最大值S2.［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x＋，当x＜0时，绝不能错误地认为关系式x＋≥2成立，并由此得出x＋的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋的最大值是－2，这是因为x＜0－x＞0，－＞0

8、－（x＋）＝（－x）＋（－）≥2＝2x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正数，求证（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a，b，c，d都是正数，∴a