线性动态电路的复频域分析-拉普拉斯变换.ppt

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1、第十四章线性动态电路的复频域分析7/28/20211浙江工业大学信息学院拉普拉斯变换拉氏变换基本性质拉氏反变换的部分分式展开运算电路应用拉氏变换分析线性电路主要内容7/28/20212浙江工业大学信息学院§14-1拉氏变换的定义一、拉氏变换定义式中：s=σ+jω，称为复频率F(s)—f(t)的象函数f(t)—F(s)的原函数—收敛因子一个定义在区间[0，∞）的函数f(t)，它的拉氏变换式为：7/28/20213浙江工业大学信息学院二、拉氏反变换定义式中：C—正的有限常数对一个函数进行拉氏变换，是把一个时间函数

2、f(t)变换到s域的复变函数F(s)；拉氏反变换，则是把一个复变函数F(s)变换到时间函数f(t)：通常拉氏变换简写为：££拉氏反变换简写为：注意：拉氏变换和拉氏反变换都是唯一的，即象函数与原函数一一对应。7/28/20214浙江工业大学信息学院1、单位阶跃函数£三、常用函数的象函数2、单位冲激函数£7/28/20215浙江工业大学信息学院£3、指数函数α为实数7/28/20216浙江工业大学信息学院若时间函数f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，A1、A2为任意常数，则有：£利用线性

3、性质可直接推导出许多函数的象函数。§14-2拉氏变换的性质一、线性性质7/28/20217浙江工业大学信息学院例：正弦函数sin(t)的象函数££同理：£7/28/20218浙江工业大学信息学院例：求函数1-e-t的象函数£££7/28/20219浙江工业大学信息学院若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的导数f(1)(t)的拉氏变换为：££如果f(t)代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数中的第二项便是uc(0-)或iL(0-)，即动态元件的初始状态。二、微分性质n阶导数f(n)(t)的

4、拉氏变换为：££二阶导数f(2)(t)的拉氏变换为：7/28/202110浙江工业大学信息学院例：试求时间函数f(t)及其一阶导数的拉氏变换，并写出一阶导数的表达式。解：f(t)的拉氏变换为：一阶导数的拉氏变换为：£一阶导数为：7/28/202111浙江工业大学信息学院若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的积分的拉氏变换为：£三、积分性质例：试求单位斜坡函数f(t)=tε(t)的拉氏变换。解：因为利用拉氏变换的积分性质，有：£££同理可得：££7/28/202112浙江工业大学信息学院若时间函数

5、f(t)的拉氏变换为F(s)，则在时间上延迟t0以后的函数f(t-t0)的拉氏变换为：£利用拉氏变换的延迟性质可用来处理电路中的脉冲信号。四、延迟性质（时域平移性质）7/28/202113浙江工业大学信息学院例：试求图示矩形脉冲函数的拉氏变换。0f(t)tt0解：矩形脉冲用解析式表示为：f(t)=(t)-(t-τ)因为：££根据拉氏变换的线性性质，可得：££1τ7/28/202114浙江工业大学信息学院五、复频域平移性质若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，则将f(t)乘以e-at后得拉氏变换为的拉氏变

6、换为：£由此可得：££7/28/202115浙江工业大学信息学院六、常用函数的拉氏变换表7/28/202116浙江工业大学信息学院设在用拉氏变换求解电路所得的象函数F(s)为：式中：m、n为正数ak、bk为实数分子、分母多项式之间无公因式§14-3拉普拉氏反变换7/28/202117浙江工业大学信息学院一、F(s)为真分式，且F2(s)=0只含单根设分母F2(s)=0有n个不同的单根p1、p2、…、pn,则F(s)可以写成部分分式展开式：式中：A1、A2、…、An为待定系数为确定待定系数Ak,在上式两端同时乘

7、以(s-pk)，得：7/28/202118浙江工业大学信息学院因为上式应对任意s都成立，令s=pk，等式右边除Ak项外均为零，由此得：也可以用求极限（罗毕达法则）的方法，对分子、分母取导数后求得：求得各待定系数后，相应的原函数为：7/28/202119浙江工业大学信息学院例：试求的原函数。解：因为即F2(s)=0的根为p1=0，p2=-2，p3=-3，所以F(s)可展开为：求得系数：7/28/202120浙江工业大学信息学院所以F(s)的展开式为：£原函数为：7/28/202121浙江工业大学信息学院系数也可

8、用罗毕达法则求得：因为：所以：7/28/202122浙江工业大学信息学院二、F(s)为真分式，且F2(s)=0含共轭复根设分母F2(s)=0有一对共轭复根pk=α+jβ、pk+1=α-jβ，这时共轭复根的待定系数Ak、Ak+1仍可采用与单根同样的办法求得，而且Ak、Ak+1也为共轭复数。7/28/202123浙江工业大学信息学院因为Ak、Ak+1为共轭复根，可记为：原函数这对共轭复根的原函数应为：7