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《平面向量中“三点共线定理”妙用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意得两个向量得充要条件就是：存在唯一得实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线得充要条件就是:对于该平面内任意一点得O,存在唯一得一对实数x,y使得：且。特别地有:当点P在线段AＢ上时，当点Ｐ在线段ＡB之外时,笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它得两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题得解决过程变得十分简单!本文将通过研究一些高考真题、模拟题与变式题去探究平面向量中三点共线定理与它得两个推广形式得妙用，供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题)已知等差数列
2、{ａｎ}得前ｎ项与为Ｓn,若,且Ａ、B、Ｃ三点共线,(设直线不过点O）,则S200=()Ａ.100??B。１０1?C.200???Ｄ。201解：由平面三点共线得向量式定理可知:a１+a200=1，∴，故选A.点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求与问题巧妙地结合在一起,就是一道经典得高考题。例2已知就是得边上得任一点，且满足，则得最小值就是解:点Ｐ落在得边BＣ上Ｂ,P，C三点共线14(14)1(14)(xy)1y4x45y4xxyxyxyxyxy由基本不等式可知:，取等号时，符合所以得最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合
3、考查了学生基本功、例３(湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC中,,点P就是BC上得一点，若，则实数m得值为(）Ａ.Ｂ、C、Ｄ、解：三点共线,又图2,故选Ｃ例４(07年江西高考题理科)如图3,在△ABＣ中,点O就是BC得中点，过点Ｏ得直线分别交直线AB、ＡＣ于不同得两点Ｍ、N,若＝m,=n,则ｍ＋n得值为。解:因为Ｏ就是BＣ得中点,故连接AＯ,如图4,由向量加法得平行四边形法则可知:，又三点共线,图3由平面内三点共线定理可得：图4例5(广东省20１0届高三六校第三次联）如图5所示:点就是△得重心，、分别就是边、上得动点,且、、三点共线。设,,证明：就是定
4、值;证明：因为G就是得重心，图5OG1(OAOB)1(1OP1OQ)OG1OP1OQ33xy3x3y又三点共线,为定值3例6(汕头市东山中学2０13届高三第二次模拟考试)如图6所示，在平行四边形ABＣD中,,，ＣE与BF相交于G点,记,，则_＿＿__＿＿A。B、C、Ｄ、分析：本题就是以平面几何为背景,为载体,求向量得问题，所以我们很容易联图6想到点F、G、B以及Ｅ，G,C三点在一条直线上,可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一得一对实数ｘ使得，,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一得一对实数使得，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5、⋯⋯⋯⋯②由①②两式可得：点评:本题得解法中由两组三点共线(F、G、B以及E,G,Ｃ三点在一条直线上),利用平面内三点共线定理构造方程组求解,避免了用得向量得加法与平面向理基本定理解答本题得运算复杂,达到了简化解题过程得效果.例６得变式一:如图7所示，在三角形ABC中,ＡＭ﹕AＢ＝1﹕3，CNPAM图7BAN﹕AC=１﹕4，BN与CＭ相交于点Ｐ，且,，试用、表示解：三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一得一对实数x,y使得，AN﹕ＡC=1﹕４,⋯⋯①又三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一得一对实数，使得∵AM﹕AB=1﹕3∴,，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由①②两式
6、可得:例6得变式二：如图8所示:直线l过ＡBCD得两条对角线AC与BD得交点O，与AD边交于点N,与ＡB得延长线交于点Ｍ。又知=ｍ，＝n，则ｍ+n=解：因为点O两条对角线AC与ＢD得交点，所以点O为AＣ得中点＝ｍ，=n又三点共线，由平面内三点共线得向量式定理可得：定理得推广:图8推广1:如图９所示:已知平面内一条直线AB，两个不同得点O与P、点O,P位于直线AB异侧得充要条件就是：存在唯一得一对实数x,ｙ使得:且．推广2:如图10所示:已知平面内一条直线AB,两个不同得点Ｏ与Ｐ、图9点Ｏ,P位于直线AＢ同侧得充要条件就是：存在唯一得一对实数x，y使得：且.图10例7已知点
7、P为所在平面内一点,且(）,若点Ｐ落在得内部,如图１１,则实数t得取值范围就是(）A．Ｂ、C、Ｄ、解：点P落在得内部A,P两点在直线ＢC得同一侧,图11由推论2知:，所以选D例８(06年湖南高考题文科)如图１2:ＯM∥AB，点P由射线OＭ、线段ＯＢ及ＡB得延长线围成得阴影区域内(不含边界)、且,B则实数对(x，y)可以就是()MA。Ｂ、Ｃ、Ｄ、O图12A解:由题目得条件知：点O与点P在直线AＢ得同侧,所以，所以A,Ｄ两选项不符合。对于选项B、C,都有，但当时，①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线得
