平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

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1、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用广东省云浮市邓发纪念中学杨再华一、问题的提出及证明。1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：（O为平面内任意一点），其中。那么、时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则当时A与O点在直线BC同侧，时，A与O点在直线BC的异侧，证明如下：设且A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点设（≠0、≠1）A1与B、C共线则存在两个不全为零的实数m、n且则、CA11（1）则则ABA与O点在直线BC的同侧（如图[1]）图[1]O（2

2、）,则，此时与反向A11CBA与O在直线BC的同侧（如图[2]）AO图[2]2A11CBA（3），则此时A与O在直线BC的异侧（如图[3]）O图[3]BAⅡⅠⅢⅣ2、如图[4]过O作直线平行AB，Ⅵ延长BO、AO、将AB的O侧区ⅤO图[4]域划分为6个部分，并设,则点P落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：（Ⅱ）区：（Ⅲ）区：（Ⅳ）区：（Ⅴ）区：（Ⅵ）区：（证明略）二、用扩展定理解高考题。（1）[2006年湖南（文）10]如图[5]，点P在由射线,线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（、）可以是……（）

3、A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则，且，则选C（2）[2006年湖南（理）15]如图[5]，点P在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是。当时，的取值范围是。解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：MBAOP，且当，有：，即图[5]答案为：，（，）2