理力16(动力学)-拉格朗日方程.ppt

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1、第十六章拉格朗日方程分析力学篇1应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程2设有n个质点组成的质点系，受s个完整双侧约束§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件广义虚位移第十六章拉格朗日方程则该质点系有N个自由度(N=3n-s)，可由N个广义坐标q1，q2，...，qN确定其位置。质点系中任一质点Mi的矢径可表示为固定时间

2、t，对ri取变分，可得Mi的虚位移——广义虚位移3虚功方程：广义力令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程——与广义坐标qk相对应的广义力4——广义坐标表示的虚功方程以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程由于广义坐标的独立性（δqk可任意取值）则必需质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零5以广义坐标表示的质点系平衡条件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中各有势力投影在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能在平衡位置处一阶变分为零——势能函数6以广义坐标表示的质点系平衡条

3、件§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程势力场中，以广义坐标表示势能函数在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是系统势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。7保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值8稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程9稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程10稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程11不稳定平衡

4、保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程12不稳定平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程13随遇平衡保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程14保守系统平衡的稳定性§16-1以广义坐标表示的质点系平衡条件第十六章拉格朗日方程保守系统的平衡条件：保守系统在平衡位置处势能取得极值在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值在不稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极大值单自由度系统：平衡条件稳定性判据15据广义力定义广义力的计算方法其中，令则§16-1以广义坐标表示的质点系平衡

5、条件第十六章拉格朗日方程利用广义虚位移任意性对于保守系统处于平衡状态两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：例题16-1例题第十六章拉格朗日方程17由此解出θ。例题16-1例题第十六章拉格朗日方程18图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f。解：系统具有2自由度。以sA、sB为广义坐标（1）当sA改变δsA而δ

6、sB=0（B不动），此时δsC=δsA/2例题16-2例题第十六章拉格朗日方程19（2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC=δsB/2系统平衡时有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例题16-2例题第十六章拉格朗日方程20§16-2第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——质点系的动能其中——广义坐标——广义坐标qk对应的广义速度——广义坐标qk对应的广义力21保守系统的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函数保守系统中，主动力都是有势力即则§16-2第二类拉格朗日方程22应用拉格朗日方程解题的步骤1.判定质点系的自由度

7、k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力（三种方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二类拉格朗日方程23在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆OA质量是m1，可绕铅直轴O转动，杆端A借铰链装有一质量是m2，半径