§6-偶然误差と统计.doc

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1、図０－２　正規分布曲線§６　偶然誤差と統計独立な測定を多数回行えば、統計処理をおこなうことによって偶然誤差の影響を軽減することができる。ここでは、偶然誤差によりばらついた測定値の処理を学ぶ。６．１　正規分布　偶然誤差によりばらついた測定値は、真の値Xのまわりに対称な山形の分布曲線を描くことがわかっている（図０－２）。曲線の面積が１となるように規格化すると、この分布曲線はつぎのように表される。（０－１０）この分布を正規分布、あるいはガウス分布という。定数sは、ばらつきの大きさを表しており、標準偏差とよばれる。測定値が、真の値から±sの範囲（X-sとX+sの間）に入っている確

2、率は約68.3%、±2sの範囲ならば約95.5%、±3sなら約99.7%になる。したがって、１０回程度の測定を行って得られたデータの中に、他の値と比べて3s以上もかけ離れたデータがあったとすると、それは偶然誤差によるばらつきとは考えられない。何らかの過失がなかったかどうか吟味する必要がある。６．２　平均値　N回の測定を行って測定値の組{xn}=x1,x2,…,xNを得たとしよう。これらは偶然誤差によってばらついているとする。このばらついたデータから最も確からしい値を推定してみよう。　{xn}が正規分布に従うならば、真の値をXとするとき、測定値がxiとなる確率（したがって誤

3、差がxi-Xである確率）はに比例する。N個の測定の誤差がx1-X、x2-X、…、xN-Xである確率は（０－１１）に比例する。この確率が最も大きくなるのは、誤差の２乗の和16（０－１２）が最小となる場合である。そのようなXの値が、この場合の最確値である。誤差の２乗和が最小となる条件により、多数の測定値から最確値を求める方法を最小２乗法という。　式（０－１２）を最小にするXを求めよう。この式をXで微分すると、となるから、これを0とするXの値X0は次の式を満たす。したがって、X0=.つまり、最確値は測定値の算術平均に他ならない。　測定値の平均をとることは、多くの測定値から真の値

4、に最も近い値を求める操作である。平均操作が意味を持つのは、測定値のばらつきが偶然誤差による場合だけである。たとえば、測定における誤りが原因で他のデータと大きくかけ離れた測定値があったとしても、これを平均に含めてはいけない。したがって、平均をとるときは、偶然誤差以外の原因でばらついているデータがないかどうかを吟味しなくてはいけない。６．２　標準偏差　測定値が正規分布に従うとき、十分に多数回の独立な測定を行えば、平均値は真の値に近づく。このとき、分布の標準偏差sはで与えられる。ここで、真の値Xは未知なので、このままではsは求まらないが、測定回数Nが十分に大きければ、Xは平均値

5、で置き換えることができる測定回数が必ずしも十分とは言えない場合には、（０－１３a）式は（０－１３b）となる。。（０－１３a）ここで、測定値と平均値の差xi-を残差という。測定結果は平均値を最確値、標準偏差を測定誤差として、16±のように表す。　残差の絶対値の平均を平均偏差という。データ数が少ない場合はこの平均偏差を測定誤差とみなしてもよい。誤差は有効数字１桁で表せばよいので、計算が簡単な平均偏差をもちいても問題がない場合が多い。Ｑ　同じ測定を５回行って、測定値122.8,122.0,123.2,122.9,123.4を得た。これらの測定値のばらつきは偶然誤差によるものとす

6、る。1)最確値、2)標準偏差、3)平均偏差をそれぞれ求めよ。６．３　最小２乗法による１次関数の推定　ある量、x,yをN組測定して得られたデータ{xi,yi},(i=1,2,…,N)から、最小２乗法により、最も確からしい実験式y=a+bx（０－１４）を推定してみよう。最小２乗法では、測定値xiを実験式に代入して得られる値a+bxiとデータyiとの差（残差）の総和が最小となるように係数a,bを求めて実験式を決定する。　残差の２乗の総和Vは、（０－１５）と表される。Vを最小にする条件は、==0である。これよりa,bを求める方程式を書くと、（０－１６a）（０－１６b）を得る（簡単

7、化のためを単にと書いた）。求める実験式のa,bはこの連立方程式を解くことによって決定される。すなわちa=()/D（０－１７）b=()/D（０－１８）ここで、D=（０－１９）16　　　　　図０－３　直線近似プロットの例である。計算方法１．まず、与えられたデータをグラフにプロットして、xとyの関係を直線で近似することが妥当かどうかを吟味する。直線近似が許されそうなら、図０－３のように直線を引いてみて、a,bの値の見当をつけておく（図の例ではa～-3.3,b～3.4程度であろう）。なお、図に矢印で示したように著しく直線から逸脱したデ