《数学建模》课件：第6章 稳定性模型(投影版).ppt

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1、主讲教师：邵红梅第六章稳定性模型稳定性模型可以看作微分方程模型的延伸，其研究仍基于动态模型，只不过建模的目的与微分方程模型有所不同；稳定性模型的建模目的通常不是寻求动态过程每个瞬时的形态，而是研究某种意义下稳定状态的特性，特别是当时间充分长后动态过程的变化趋势；比如：什么条件下描述过程的变量越来越接近某些确定的数值，在什么条件下又会越来越远离这些值而导致过程不稳定。稳定性模型解决上述问题，常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程的稳定性理论进行研究。微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介一阶微分方程的一般形式及平衡点其中是的已知函数。和

2、如果存在某个常数使得则称点为该微分方程的平衡点（奇点），并称为该方程的平凡解（奇解）。如果方程（1）右端不显含自变量t，即则称之为一阶自治方程。特殊地，微分方程稳定性理论简介一、一阶自治方程的平衡点及稳定性一般表达式代数方程f(x)=0的实根x=x0称为该方程的平衡点（或奇点）,则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定)；否则，称x0是不稳定的(不渐近稳定)。求得的方程的解x(t)都满足使从这个邻域内任一点出发（作为初始点）如果存在的某个邻域，显然，它也是该方程的解，该解称为平凡解（奇解）。微分方程稳定性理论简介判断平衡点x0是否稳定的方

3、法间接法直接法利用定义不求方程的解x(t)，因而不利用定义将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程近似为称为原方程的线性近似方程，因此，关于x0点稳定性有如下的结论：若f’(x0)<0，则x0对于原方程和线性近似方程都是稳定的；若f’(x0)>0，则x0对于原方程和线性近似方程都是不稳定的。若记f’(x0)=a，则近似线性方程的一般解是x(t)=ceat+x0其中c是由初始条件决定的常数，显然，当a<0时，显然x0也是线性近似方程的平衡点。微分方程稳定性理论简介二、二阶自治方程的平衡点和稳定性代数方程组的实根x1=x10，x2=x

4、20称为方程的平衡点，记作P0(x10，x20)。则称平衡点P0是稳定的(渐近稳定)；否则，称P0是不稳定的(不渐近稳定)。二阶自治方程可以用两个一阶自治方程表示的方程的解x1(t)，x2(t)满足如果存在的某个邻域，使从这个邻域内的任一个点出发，求得微分方程稳定性理论简介用直接法讨论方程的平衡点的稳定性1.线性常系数方程系数矩阵记作假定A的行列式detA≠0P0(0,0)的稳定性由特征方程det(A-λI)=0的根λ(特征根)决定方程的一般解具有形式c1，c2为任意常数按照稳定性的定义可知，当λ1，λ2为负数或有负实部时，P0(0，0)是稳定

5、平衡点；而当λ1，λ2有一个为正数或有正实部时，P0(0，0)是不稳定平衡点。在detA≠0下，λ1，λ2不可能为零。则该方程具有惟一的平衡点P0(0,0)。微分方程稳定性理论简介根据特征方程的系数p，q的正负很容易判断平衡点的稳定性若p>0，q>0则平衡点稳定；若p<0或q<0则平衡点不稳定。对线性方程的平衡点P0(0，0)稳定性的结论微分方程稳定性理论简介2.对于一般的非线性方程在P0点将f(x1，x2)和g(x1，x2)作Taylor展开，只取一次项，得近似线性方程系数矩阵记作特征方程系数为则P0点对于原方程记其平衡点为P0(x10，x2

6、0)下面可用线性近似方法判断其平衡点的稳定性。即由p,q的符号而确定。可以证明，若矩阵A的特征根不为零或实部不为零，的稳定性与对近似线性方程的稳定性相同.显然，P0(x10，x20)也是该近似方程的平衡点。微分方程稳定性理论简介以上平衡点的稳定性结论只是对自治方程而言的。非线性方程的平衡点的稳定性，与相应的近似线性方程的平衡点的稳定性一致，是在非临界情况下(即a≠0，或p，q≠0)得到的，在临界情况下(即a=0或p，q=0)二者可以不一致。在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点，定义成立，

7、称为全局稳定。对于线性方程，局部稳定与全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。对于临界情况和非线性方程的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨论。记今年人口为x0，年增长率为r，k年后人口为xk=x0(1+r)k基本条件年增长率r保持不变。英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766—1834)与1798年建立如下模型。模型建立记时刻t的人口为x(t)（连续、可微函数）x(t)=x0ertx(t)=x0ert≈x0(1+r)k表示人口将按指数规律随时间无限增长。补充：人口增长模型一(指数增长模型)与实际现象不符！补充：人口增长模型二(Logis

8、tic模型)荷兰生物数学家Verhulst19世纪中叶提出：自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。人