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1、数学极限的求法数学极限得求法常见:夹逼准则,无穷小量得性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则,中值定理,定积分,泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,1cosx~1x2,(1x)a1~ax,nx~1x2n当上面每个函数中得自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面得等价关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x；ln(1x2
2、)～x2。x4x3limx)3x0(sin例：求2sinx:x解：Q22x4x3limx4x3limx4x3limx3x3x3x0x0x0(sin)()8＝82＝2＝2：利用极限得四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零得因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项得与（或积）为有限项。例；求极限limx21x1(1)x12x2lim1x2x3(2)x3数学极限的求法lim(x1x33)(3)x111xn11LL1,limxn(4)已知1223(n1)n求nlimx21lim(x1)(x1)limx12解：(1
3、)x12x2x1＝x1(x1)(2x1)=x12x1＝3lim(1x2)(1x2)limx31(2)（2）＝x3(x3)(1x2)＝x3(x3)(1x2)＝4(3)lim(x1x33)x111limx2x2lim(x1)(x2)limx2x311)(x2x1＝-1＝x1＝x1(xx1)＝x1x2xn11LL1,(4)因为1223(n1)n1111111LL1111223344n1n1n1nlimxnlim(111)所以nnn3：利用两个重要极限公式求极限limsinx11(1)limxgsinx0xxx1)x1lim(1lim(1x)xe(2
4、)xxx0例：求下列函数得极限[4]limlimcosxcosx2cosx3LLcosxn(1)n0n2222n2lim(12)m(2)mm1（3）lim(xax)x,(a0,a1)x0数学极限的求法解：(1)cosxcosxcosxLLcosx222232n1sinxcosxcosxcosxLLcosxsinx2sinx222232n2n2n＝1xsinxnsin22n＝xxxcosxlimcoscos2cos3LLnn2222lim1sinx=sinx2nsinxnlim2nsinxnsinxn＝2n2＝xlimxcosxcosxLLco
5、sxsinxlimcos23nlimx0n222x＝12＝x0n2m2n2n2m2n222g(2)gm2g(mlim(1n)mlim(1)nmlim(1)n)(2)m2m2＝e0＝1mm2＝m＝m11ax（3）lima(1xax)xalim(1xax)xaxx0x01xlimaxa[lim(1xax)xa]x0ae1ae、x04、利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数N,当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna,limynaxx则有x、利用夹逼准则求极限关键在于从xn得表达式中，通常通过放大或缩小得方法找出两个有相同极限值得
6、数列yn与zn，使得ynxnzn。111xn.......n,求xn得极限例1、n21n22n2解：因为xn单调递减，所以存在最大项与最小项数学极限的求法xn111nnn2.......nn2nn2nn211.......1nxn1nn21n21n221nxnn则n2nn21limnlimn122xnnx又因为n1limxn1x（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列得存在，然后根据数列得通项递推公式求极限。例：[1]证明下列数列得极限存在，并求极限。y1a,y2aa,y3aaa,LL,
7、ynaaaLa证明：从这个数列构造来瞧yn显然就是单调增加得。用归纳法可证。又因为y2ay1,y3ay2,LL,ynayn1所以得y2ayn1、因为前面证明yn就是单调增加得。nyna1yyn两端除以n得aaa因为yny1a,则yn1a1,从而ynayna1即yn就是有界得。根据定理yn有极限，而且极限唯一。令limynllimyn2lim(yn1a)n则nn14a1则l2la、因为yn0,解方程得l2数学极限的求法14a1limynl2所以n5：洛必达法则求极限：0洛必达法则只能对0或型才可直接使用，其她待定型如0?,,00,1,0limf
8、/(x)limf(x)必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则g/(x)=g(x)=A、00或1100101通分化为0000?可以通过0，，后面两个幂得形式通
