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1、数学极限的求法数学极限得求法常见:夹逼准则,无穷小量得性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则,中值定理,定积分,泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。1：利用等价无穷小代换求极限当x趋于0时等价，例如x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～xln(1x)～e112an1sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,1cosx~x,(1x)1~ax,x~x2n当上面每个函数中得自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面得等价关系3x22成立，例如：当x0时，e1～3x；ln(1x)～x。43xxlim
2、x0x3(sin)例：求2xxsin:解：Q22434343xxxxxxlimlimlim3x0xx0xx0x33(sin)()2＝2＝8＝82：利用极限得四则运算性质求极限进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零得因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项得与（或积）为有限项。例；求极限2x1lim2x1(1)2xx11x2limx3(2)x3数学极限的求法13lim()3x1x1x1(3)111xnLL,limx1223(n1)nn(4)已知求n2x1(x1)(x1)x1limlimlim22x1解：(1)x12xx1＝(x1)(2x1)=x12
3、x1＝3(1x2)(1x2)x3limlim1x3x3(x3)(1x2)(2)（2）＝(x3)(1x2)＝＝413lim(3)x1x1x1(3)2xx2(x1)(x2)x2limlim2limx13x1(x1)(xx1)＝x12＝x1＝xx1＝-1111xnLL,(4)因为1223(n1)n11111111111LL1223344n1n1nn1limxnlim(1)1nn所以n3：利用两个重要极限公式求极限sinx1limlimxgsin1x0x(1)xx11xxlim(1)lim(1x)exxx0(2)例：求下列函数得极限[4]xxxxlimlimcoscosco
4、sLLcos23nn0n2222(1)2nmlim(1)2mm(2)1xx（3）lim(xa),(a0,a1)x0数学极限的求法xxxxcoscoscosLLcos23n解：(1)22221xxxxxsinxcoscoscosLLcossin23nnx222222sinn＝21sinxnx2sinn＝2xxxxlimcoscoscosLLcos23nn22221sinxlimsinx=nnxnxsinx2sinlim2sinnn2n2x＝＝xxxxsinxlimlimcoscoscosLLcosx0n23nlim2222＝x0x＝122222mn2mn2g()gmg
5、()nnn2m2nn2mmlim(1)lim(1)lim(12)220mm＝mmmme＝1(2)＝＝11xaxxxxxa（3）lima(1xa)alim(1xa)x0x01xxlimaa[lim(1xax)xa]x01aeae、x04、利用两个准则求极限。(1)夹逼准则：若一正整数N,当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna,limynaxx则有x、xn利用夹逼准则求极限关键在于从得表达式中，通常通过放大或缩小得方法找出两个有相同极限值得数列yn与zn，使得ynxnzn。111xn.......222例1、n1n2nn,求xn得极限xn解：因为单调递减，所
6、以存在最大项与最小项数学极限的求法111nxn.......2222nnnnnnnn111nxn.......2222n1n1n1n1nnxn22则nnn1nnlimlim1x2x2又因为nnn1limx1nx（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列得存在，然后根据数列得通项递推公式求极限。例：[1]证明下列数列得极限存在，并求极限。y1a,y2aa,y3aaa,LL,ynaaaLa证明：从这个数列构造来瞧yn显然就是单调增加得。用归纳法可证。yay,yay,LL,yay又因为2132nn12所以得ynayn1
7、、因为前面证明yn就是单调增加得。ayn1yy两端除以n得naaa1a1因为yny1a,则yn,从而ynayna1即yn就是有界得。根据定理yn有极限，而且极限唯一。2limynllimynlim(yn1a)令n则nn14a12l则lla、因为yn0,解方程得2数学极限的求法14a1limynln所以25：洛必达法则求极限：000洛必达法则只能对0或型才可直接使用，其她待定型如0?,,0,1,/f(x)f(x)limlim/必可以化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则g(x)=g(x)=A、00或1100110?可以通过00，通分化为000，后面两个幂得形式通
