(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(二)数列文.docx

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1、(二)数列1．(2018·潍坊模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且1，a，S成等差数列．n(1)求数列{a}的通项公式；nnnn(1)若数列{b}满足a·b＝1＋2na，求数列{b}的前n项和T.nnnnnn解(1)由已知1，a，S成等差数列，得2a＝1＋S，①nnnn当n＝1时，2a＝1＋S＝1＋a，∴a＝1.1111当n≥2时，2a＝1＋S，②n－1n－1①－②得2a－2a＝a，nn－1na∴an＝2，n－1∴数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，n∴a＝aqn－1＝1×2n－1＝2n－1(n∈N*)．n1(2)由

2、a·b＝1＋2na，得b1nnnn＝＋2，ann∴T＝b＋b＋…＋bn12n111n＝a＋2＋a＋4＋…＋a＋212＝æç11n1ö÷＋(2＋4＋…＋2n)èa＋a＋…＋aø12n11－2n(2＋2n)n1＝1＋21－2＝n2＋n＋2－(n∈N*)．2n－12．(2018·四川成都市第七中学三诊)已知公差不为零的等差数列{a}中，a＝7，且a，a，n314a成等比数列．13(1)求数列{a}的通项公式；n(2)记数列{a·2n}的前n项和为S，求S.nnn解(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，n则a＝a＋2d＝7.

3、31又∵a，a，a成等比数列，1413∴a2＝aa，即(a＋3d)2＝a(a＋12d)，4113111整理得2a＝3d1∵a≠0，1ìïa＋2d＝7，ìïa＝3，由í1解得í11ïî2a＝3d，ïîd＝2，∴a＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．n(2)由(1)得a·2n＝(2n＋1)·2n，n∴S＝3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①n∴2S＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②n①－②得－S＝6＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n＋1)·2n＋1n＝2＋2

4、2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n＋1)·2n＋12(1－2n＋1)＝1－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋(1－2n)·2n＋1.∴S＝2＋(2n－1)·2n＋1(n∈N*)．n3．(2018·厦门质检)已知等差数列{a}满足(n＋1)a＝2n2＋n＋k，k∈R.nn(1)求数列{a}的通项公式；n(2)设b＝4n2，求数列{b}的前n项和S.naannnn＋1解(1)方法一由(n＋1)a＝2n2＋n＋k，n令n＝1,2,3，a3＋ka10＋ka21＋k得到＝，＝31223，＝4，∵{a}是等差数列，∴2a＝a＋a，n

5、21320＋2k3＋k21＋k即3＝2＋4，解得k＝－1.由于(n＋1)a＝2n2＋n－1＝(2n－1)(n＋1)，n又∵n＋1≠0，∴a＝2n－1(n∈N*)．n方法二∵{a}是等差数列，设公差为d，n则a＝a＋d(n－1)＝dn＋(a－d)，n11∴(n＋1)a＝(n＋1)(dn＋a－d)n1＝dn2＋an＋a－d，11∴dn2＋an＋a－d＝2n2＋n＋k对于n∈N*均成立，11ïìïd＝2，则ía＝1，解得k＝－1，∴a＝2n－1(n∈N*)．1nîa－d＝k，1(2)由b＝4n2＝4n2naa(2n－1)(2n＋

6、1)nn＋14n21nn＝＝1＋42－142－1＝1＋11æç1－1ö÷＋1，(2n－1)(2n＋1)＝è2n－12n＋1ø2得S＝b＋b＋b＋…＋b572n123n3235＝1æç1÷ö1æç11÷ö1æç11ö÷1æç1－1ö÷＋12è1－ø＋1＋è－ø＋1＋è－ø＋1＋…＋è2n－12n＋1ø2＝1æç111111－1ö÷n2335572－12＋1è1－＋－＋－＋…＋nnø＋＝1æç1－1ö÷＋n2è2n＋1øn2n2＋2n2＋1＝n＋n＝2n＋1(n∈N*)．4．(2018·安徽省江

7、南十校模拟)数列{a}满足a＋2a＋3a＋…＋nan＋2(1)求数列{a}的通项公式；nn123＝2－n2n.(2)设b＝an，求{b}的前n项和T.n(1＋a)(1＋a)nnnn＋1na31解(1)当＝1时，＝2－＝；122当n≥2时，由a＋2a＋3a＋…＋nan＋2123＝2－n2n，①a＋2a＋3a＋…＋(n－1)an＋1123n－1＝2－2n－1，②＝2－①－②得nan＋2æçn＋1÷önn－2－＝，可得a＝1，2nè2n－1ø2nn2n又∵当n＝1时也成立，∴a＝1(n∈N*)．12n(2

8、)∵b＝n2n＝2n＋1næç1＋1ö÷æç1＋1ö÷(2n＋1)(2n＋1＋1)è2nøè2n＋1ø＝2æç1－1ö÷，è2n＋12n＋1＋1ø∴T＝2æç1－1＋11－＋…＋1－1ö÷nè2＋122＋122＋123＋12n＋12n＋1＋1øç