双曲线的方程-B-知识讲解.doc

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1、双曲线的方程编稿：张希勇责编：李霞【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；2.掌握双曲线的定义和标准方程；3.能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、双曲线的定义[来源:学优gkstk]在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；[来源:学优GKSTK]2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中

2、靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。要点二、双曲线的标准方程标准方程的推导：如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴第9页共9页（2）建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标

3、分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M

4、

5、MF1

6、-

7、MF2

8、

9、=2a}={M

10、MF1

11、-

12、MF2

13、=±2a}．[来源:学优gkstk](3)代数方程∵[来源:GKSTK.Com][来源:学优gkstk]∴(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).[来源:GKSTK.Com](以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c＞2a　即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2

14、-a2y2=a2b2.即，其中这就是双曲线的标准方程.双曲线的标准方程：1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；第9页共9页2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据

15、MF1

16、+

17、MF2

18、=2a根据

19、MF1

20、－

21、MF2

22、=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）标准方程统一为：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在x

23、轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。要点诠释：1.当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2.双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。3.双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。4.对于双曲线，a不一定大于b第9页共9页，因此不能像椭圆那样通

24、过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论.【典型例题】类型一：双曲线的定义例1.若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明

25、轨迹的形状．【解析】∵｜AA′｜＝2，∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在.举一反三：[来源:学优GKSTK]【变式1】