知识讲解_双曲线及其标准方程_基础.doc

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1、.双曲线及其标准方程编稿：张林娟责编：孙永钊【学习目标】1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双

2、曲线．定点、叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．要点诠释：1．双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2．若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支．若常数=，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数=，则动点轨迹不存在；若常数=，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方

3、程1．双曲线的标准方程当焦点在轴上时，，其中；当焦点在轴上时，，其中Word资料.2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．（3）列式设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．由定义可知，双曲线就是集合：P={M

4、

5、MF1

6、-

7、M

8、F2

9、

10、=2a}={M

11、MF1

12、-

13、MF2

14、=±2a}．∵∴(4)化简将这个方程移项，得两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：①（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导）由于方程①形式较复杂，继续化简．Word资料.由双曲线定义，　即，所以．令，代入上式得：，两边同除以，得：即，其中．这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y轴的双曲线方程：，其中．3．两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内

15、到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合不同点图形标准方程焦点坐标，，相同点a、b、c的关系焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．Word资料.3．双曲线的焦点

16、总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义根据

17、MF1

18、+

19、MF2

20、=2a根据

21、

22、MF1

23、－

24、MF2

25、

26、=2aa、b、c关系a2－c2=b2（a最大）（a＞c＞0，b＞0）c2－a2=b2（c最大）（0＜a＜c，b＞0）标

27、准方程，（焦点在x轴），（焦点在y轴）其中a＞b＞0，（焦点在x轴），（焦点在y轴）其中a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程的统一形式（当时，表示椭圆；当时，表示双曲线）2．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线．当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上．要点四：求双曲线的标准方程①Word资料.待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主

28、要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F1(－4，0)和F2(4，0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程