《统计学》贾俊平.doc

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1、概率论与数量统计一、连续型随机变量分布函数及其概率密度1．概率密度与它的基本性质设对于随机变量x的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意的实数x，都有成立,则称x为连续型随机变量，f(x)便是x的概率密度（或分布密度）。概率密度具有如下基本性质：(1)(非负性)；(2)(规范性)；(3)对任何实数c，有；对任意的实数a，b(a

2、夫不等式4．常用的连续型分布常用的连续型分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。（1）均匀分布若随机变量取值在有限区间(a,b)上，其概率密度为其中b>a为常数。则称服从区间(a,b)上的均匀分布，简记为。均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。（4）正态分布设随机变量有概率密度其中，为常数。则称服从参数为，的正态分布，简记为。特别，当=0，=1时，有。此时称服从标准正态分布。简记为～N(0，1)。5．概率密度与分布函数的互求当概率密度给定时，运用逐段积分可求得分布函数。即，如此得到的分布函数是定

3、义在整个实数轴上的连续函数。反之，当分布函数已知时，在f(x)的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即。可见，连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。6．给定分布时的概率计算小结(1)分布律已知时的概率计算公式是(2)概率密度已知时的概率计算公式是(3)分布函数已知时的概率计算公式是(4)正态分布下的概率计算公式是其中r．v．x~；F(x)为标准正态分布函数。当x>0时其数值可查标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到；对于负实数x，在公式F(x)=1-F(-x)转化下

4、，仍可查表求值。二．随机变量函数的分布随机变量x的函数在一定条件下仍是随机变量。h的分布可由x的已知分布确定。但在求h的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。1．离散型随机变量x的函数分布设x为一离散型随机变量，其分布律为x1x2…xn…pip1p2…pn…则当诸的值互异时，h的分布律为……pip1p2…pn…如果中有某些值相同时，则将相应概率相加之后予以合并处理，必要时重新排序后写出h的分布律。可见，在离散型场合下，h的分布律完全由x的分布律确定。2．连续型随机变量x的函数分布设x为连

5、续型随机变量，其概率密度为，则仍为连续型随机变量，其概率密度的计算步骤为：(1)根据x的概率密度，求出的分布函数其中，(2)对求导得的概率密度在函数可导且严格单调时，的概率密度为，其中是严格单调可微函数(与对应的普通函数)的反函数。至于的取值范围，原则上将由中x的取值范围及中的的允许范围讨论确定。可见，连续型场合下，的概率密度完全由x的概率密度确定。3．连续型随机向量的函数的分布P97如卷积公式卷积公式：设的联合密度函数为，求的密度函数。如果是相互独立的随机变量，则有（卷积公式）4．随机向量的数

6、字特征P104协方差协方差矩阵相关系数设为二维随机变量，第四章数理统计的基础知识4.1总体与样本一、总体与总体分布定义4.1在统计学中称随机变量（或向量）X为总体，并把随机变量（或向量）X的分布称为总体的分布。二、样本与样本分布4.2称为总体X的简单随机样本，若是独立同分布的随机变量，且与总体X同分布。样本中所含分量的个数n称为该样本的容量。以大写的英文字母表示随机变量，而以相应的小写英文字母表示它的观察值，并称样本的一组具体的观察值为样本值。设总体X的分布函数为，则由定义4.2知，样本的分布函

7、数为称之为样本分布。若总体X为连续型随机变量，其密度函数为，则样本的密度函数为。三、统计推断问题简述即借助总体X的一个样本，对总体X的未知分布进行推断，我们把这类问题统称为统计推断问题。4.2统计量一、统计量的定义定义4.3设为总体X的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。如二、常用的统计量1.样本均值称样本的算术平均值为样本均值，记为，即2.样本方差更多时候用修正样本方差3.样本标准差4.样本原点矩，并称为样本的k阶原点矩。5.样本中心矩，，并称为样本的k阶中心矩

8、。三、枢轴量仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数称为枢轴量。如总体，其中已知，未知，为总体的一个样本，令，上述函数U中虽然含有未知参数，但总有，故U是一枢轴量，可以对作统计推断。4.3常用的统计分布一、分位数定义4.4设随机变量X的分布函数为，对给定的实数如果实数满足即或则称为随机变量X的分布的水平的上侧分位数。或直接称为分布函数F(x)的水平的上侧分位数。定义4.5设X是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为，对给定的实数如果正实数满足即则称为随机变量X的分布的水平的双侧分位数，也简称为