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1、辽宁省辽河油田第二高级中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题时间:120分钟满分:150分一、选择题(每道小题5分,满分60分)1.函数在处的导数等于()A.B.C.D.2.已知曲线在点处切线的斜率为1,则实数a的值为()A.B.C.D.23.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,则直线l与平面()A.垂直B.平行或在平面内C.平行D.在平面内4.直线、的方向向量分别为,,则()A.B.C.与相交不平行D.与重合5.设函数,若曲线在点处的切线方程为,则点P的坐标为()A.B.C.D.或6.如图,在正
2、方体中,E,F分别是,的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.函数,则()A.为函数的极大值点B.为函数的极小值点C.为函数的极大值点D.为函数的极小值点8.三棱锥中,,,,则等于()A.2B.C.-2D.9.知函数的导函数yf的图象如图所示,则关已'(x)于函数,下列说法正确的是()A.在处取得极大值B.在区间上是增函数C.在处取得极大值D.在区间上是减函数10.在三棱柱中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱底面ABC,点D在棱上,且,若AD与平面所成的角为,则的值是A.B.C.D.
3、11.在上的最大值是()A.B.1C.-1D.e12.若函数在上是单调函数,则a的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(每道小题5分,满分20)13.设分别是两条异面直线,的方向向量,且,则异面直线与所成角的大小是________.14.已知向量,分别是直线l的方向向量和平面的法向量,,,则l与所成的角为________.15.函数的单调递增区间是________.16.如图,在长方体中,,,点E在棱AB上,若二面角的大小为,则________.三、解答题(满分70分,17题10分,其余每题12分)17.
4、已知函数f(x)x2ax1lnx在处取得极值.求解析式;求函数的单调区间.18.已知函数在点处的切线方程为.求实数a,b的值.求函数在区间上的最值19.如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.证明:;求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.20.如图,三棱柱中,侧面底面ABC,,,且,O为AC中点.1证明:平面ABC;2求直线与平面所成角的正弦值.21.如图,在底面为菱形的四棱锥中,,,,点E在PD上,且PE::1.Ⅰ求证:平面ABCD;Ⅱ求二面角的正弦值;22.设函数.当
5、时,求函数的图象在点处的切线方程;如果对于任意的x∈(1,+∞),都有,求实数a的取值范围.答案和解析一、选择题CBBADDACBDAB二、填空题(0,1)或(0,1]三、解答题17.解:.,因为处取得极值,所以,解得.所以,由知,由0'/>,即,解得,即函数的增区间为.由,得,解得或,即函数的减区间为和.18.解:由题意得,解得;由知,所以,当时,,递增,当时,,递减,当时,,递增所以当时,,.19.方法不唯一(1)略2如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则,
6、,0,,,,0,,平面PAD的一个法向量为1,,设平面PBC的法向量为y,,则,取,得1,,,故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为.20.方法不唯一解:(1)略以O为原点,OB,OC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可知,,,,0,,,0,,1,,2,,0,,则有:.设平面的一个法向量为y,,则有,,令,得,所以..因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以.21.方法不唯一(1)略(2)以A为原点,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,直线AD、AP分别为y、z轴建立空间直角
7、坐标系,如图,则0,,,,1,,0,,,则,,设平面EAC的法向量为y,,由得,令,则,,故,易知,平面DAC的法向量为0,,设二面角的大小为为锐角,由,得,故.22.解:由,,,又,切线方程为,即,函数的图象在点处的切线方程为.由,得,即,设函数,则,,,,当时,}0'/>,函数在上单调递增,当时,,对于任意,都有成立,对于任意,都有成立,.