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时间:2019-11-17
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1、辽宁省辽河油田第二高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题理一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.有以下四个命题:①若,则.②若有意义,则.③若,则.④若,则.则是真命题的序号为()A.①②B.①③C.②③D.③④2.“”是“”是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.抛物线:的焦点坐标是()A.B.C.D.4.已知i是虚数单位,则复数的虚部是( )A.-1B.1C.-iD.i5.若方程C:(是常数)则下列结
2、论正确的是()A.,方程C表示椭圆B.,方程C表示双曲线C.,方程C表示椭圆D.,方程C表示抛物线6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=( )A.B.C.D.7.函数(的最大值是()A.1B.-1C.0D.8.过点与抛物线有且只有一个交点的直线有()A.4条 B.3条 C.2条D.1条9.由曲线与的边界所围成区域的面积为()A.B.C.D.110.下列条件中使与、、一定共面的是()A.B.C.D.11.已知函数,则、、的大小关系()A.>>B.>>C.>>D.>>12..函数,若的导函数在R上是增函数,则实数的取值范围是()A
3、.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为_____.14.是过抛物线焦点的弦,且,则中点的横坐标是_____.15.若直线的方向向量,平面的一个法向量,则直线与平面所成角的正弦值等于_________。16.已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知椭圆C:上一点到它的两个焦
4、点(左),(右)的距离的和是6,(1)求椭圆C的离心率的值.(2)若轴,且在轴上的射影为点,求点的坐标.18.(12分)已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求函数的单调区间.19.(12分)设命题是的必要而不充分条件;设命题实数满足方程表示双曲线.(1)若“”为真命题,求实数的取值范围;(2)若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.20.(12分)如图,PA⊥平面ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中点.(1)求证:A
5、E⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.21.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值,求a的值.(2)讨论函数的单调性;22.(12分)中心在原点的双曲线C的右焦点为,渐近线方程为.(I)求双曲线C的方程;(II)直线l:y=kx-1与双曲线C交于P,Q两点,试探究,是否存在以线段PQ为直径的圆过原点.若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.高二上学期期中考试数学(理)试题答案一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)ABCBBDACBCCD二、填空题(每题5分,满分20分)13.1.14.4.15..16.
6、三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(1)---------2分---------5分(2)-------10分18.(12分)解:(Ⅰ)由的图象经过P(0,2),知d=2,所以由在处的切线方程是,知故所求的解析式是 --------6分(Ⅱ)解得 当当故的增区间是和,减区间是. --------12分19.(12分)解:由,得命题真时,则,得∴命题假时,,命题真时,得,解得或,命题假时,--------4分(1)若“”为真命题,则真真,所以,所以或即实数的取值范围为:--------8分(2)∵为
7、假,为真,∴一真一假.当真假时,则,所以;当假真时,则,所以.综上可知,实数的取值范围为:.--------12分20.(12分)解:(1)证明:根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),,,=(0,1,0),=(-1,0,1).因为·=0,·=0,所以⊥,⊥.所以AE⊥BC,AE⊥BP.因为平面PBC,平面PBC,且BC∩BP=B,所以AE⊥平面PBC.--------6分(2)设平面PCD的法向量为,则,因为=(-1,2,0),=(0,3,-1),
8、所以-x+2y=0,3y-z=0.令x=2,则y=1,z=3.所以是平面PCD的一个法向量.因为AE⊥平面PBC,所以是平面PBC的法向量.所以由此可知与的夹角的余弦值为.根据图
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