解决平面向量问题“五技巧”.pdf

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1、。解决平面向量问题“五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题．在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握．一、巧用向量中点公式1在平面内，设点C为线段AB的中点，O为任意一点，则OC(OAOB)．2例1（2011年高考上海卷·文18）设A,A,A,A是平面上给定的4个不同点，则使1234MAMAMA

2、MA0成立的点M的个数为（）1234A．0B．1C．2D．4分析：由条件得MAMA(MAMA)，联想向量中点公式进行简化得1234MCMD（其中C为线段AA的中点，D为线段AA的中点），进而得到M为CD的1234中点，问题即可获解．解：设C为线段AA的中点，D为线段AA的中点，由条件得1234MAMA(MAMA)，即MCMD，所以向量MC与MD是相反向量，且共1234用起点M，所以M为CD的中点，所以点M的个数是唯一的，选B．点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解．26【牛刀小试】（赣

3、州市2011届高三摸底考试）在长方形ABCD中，AB，33AD，O为AB的中点，若P是线段DO上动点，则(PAPB)PD的最小值是3_________．（解：由题意得

4、OD

5、

6、OA

7、2

8、AD

9、21．因为O为AB的中点，所以PAPB2PO，设

10、PD

11、x（0x1），则

12、PO

13、1x，(PAPB)PD2POPD11112

14、PO

15、

16、PD

17、cos1802x(1x)2(x)2，故所求最小值为．）2222二、巧用abab=0例2（2011年高考上海卷·理11）在正三角形ABC中，D是BC上的一点，

18、AB3，BD1，则ABAD_________．分析：欲求ABAD，而

19、AD

20、、cosBAD虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；注意到ABC60，BD1，AB3，作DEAB垂足为E，则可将ABAD转化为ABAE，可快速获解．解：如图，过点D作DEAB垂足为E，则ABADAB(AEED)ABAEABABAE3AE

21、

22、1153(3

23、BD

24、)．22点评：利用abab=0结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解．【牛刀小试】（2011年高考湖南卷·

25、理14）在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE_________．（解：依题意D为BC的中点，ADBC，所以ADBEAD(BCCE)ADBCADCEADCE-可编辑修改-。3131

26、AD

27、

28、CE

29、cos150()．）2324三、巧用平面内三点共线的充要条件平面内A,P,B三点共线APAB（R）对平面内任意一点O，使得OPOAOB（其中,R，1）．例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知A,B,C是平面上不共线的三点，O1为ABC

30、的外心，D为AB的中点，动点P满足OP[(22)OD(12)OC]3(R)，则点P的轨迹一定过ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心11分析：审视条件向量等式，有(22)(12)1，问题即可获解．331111解：因为OP(22)OD(12)OC，(22)(12)1，所以3333P,C,D三点共线．又D为AB的中点，所以点P的轨迹一定过ABC的重心，选C．点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出P,C,D三点共线这个“内核”，问题迎刃而解．【牛刀小试】（哈尔

31、滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在ABC中，AHBC于H，M为AH的中点，若AMABAC，则_________．（解：因为M为AH的中点，B,H,C三点共线，所以2AMAHABAC，111．所以AMABAC，所以()）2222四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，①O为222外心OAOBOC；②G为重心GAGBGC0；③H为垂心HAHBHBHCHCHA；④I为内心aIAbIBcIC

32、0．（2）ABAC（简化为AD）所在的直线一定通过ABC的内心（即AD为BAC的角平

33、AB

34、

35、AC

36、ABAC分线）；（3）ABAC所在的直线