解决平面向量问题“五技巧”.doc

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1、解决平面向量问题“五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题．在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握．一、巧用向量中点公式在平面内，设点为线段的中点，为任意一点，则．例1（2011年高考上海卷·文18）设是平面上给定的4个不同点，则使成立的点的个数为（）A．0B．1C．2D．4分析：由条件得，联想向量中点公式进行简化得（其中为线段的

2、中点，为线段的中点），进而得到为的中点，问题即可获解．解：设为线段的中点，为线段的中点，由条件得，即，所以向量与是相反向量，且共用起点，所以为的中点，所以点的个数是唯一的，选B．点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解．【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．（解：由题意得．因为为的中点，所以，设（），则，，故所求最小值为．）二、巧用例2（2011年高考上海卷·理11）在正三角形中，是上的一点，，，则_________．分析：欲求，而、虽然可以利用条件求出，但是

3、显得繁琐；注意到，，，作垂足为，则可将转化为，可快速获解．解：如图，过点作垂足为，则．点评：利用结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解．【牛刀小试】（2011年高考湖南卷·理14）在边长为1的正三角形中，设，，则_________．（解：依题意为的中点，，所以．）三、巧用平面内三点共线的充要条件平面内三点共线（）对平面内任意一点，使得（其中，）．例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知是平面上不共线的三点，为的外心，为的中点，动点满足()，则点的轨迹一定过的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心分析：审视条件向量等式

4、，有，问题即可获解．解：因为，，所以三点共线．又为的中点，所以点的轨迹一定过的重心，选C．点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出三点共线这个“内核”，问题迎刃而解．【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在中，于，为的中点，若，则_________．（解：因为为的中点，三点共线，所以，．所以，所以）四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示：在中，角所对的边分别为，①为外心；②为重心；③为垂心；④为内心．（2）（简化为）所在的直线一定通过的内心（即为的角平分线）；（3）所在的直线一定通过的重心；（4）（简化为，可证得）所在

5、直线一定通过的垂心．例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点依次为的（）A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心分析：根据熟知的结论可排除选项A、B、D，选C．解：（1）显然为的重心；（2）显然为的垂心；（3）设，，则、都为单位向量且分别与、同向共线．由得，所以，所以是的平分线；同理由得到是的平分线，所以为的内心．（4）设为的中点，由得，所以，所以是的垂直平分线．同理由得到点在线段的垂直平分线上，所以为的外心．点评：熟记一些重要而常用的

6、小结论，对解决数学问题是很有益的，或者可以开启解题思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间．【牛刀小试】（安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题）已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（）A．内心B．垂心C．重心D．外心（解：由已知得，即，所以，设的中点为，则，所以，所以，所以动点在的垂直平分线上，所以点的轨迹过的外心，选D．）五、巧构图形1．构图求向量夹角的取值范围例5（2011年高考课标全国卷·理10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列命题：：：：：其中真命题是A．B．C．D．分析：利用向量的三角形法则分别表示、，固定而让旋转，观察角如何变化结合条件即可确定相

7、应的取值范围．解：如图（1），，，，，当绕着点逆时针旋转时，增大，减小，当时为正三角形，易知．如图（2），，，，当绕着点逆时针旋转时，增大，增大，易知，，故选A．点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，利用向量的三角形法则和运动思想，研究相应条件下的取值范围，解法新颖独特，直观快捷（只画图让图在大脑中运动并抓临界值即可获解）．【牛刀小试】（2011年高考浙江卷·理14）若平面向量、满足，，且以向量、为邻边的平面四边形的面积为，则向量与的夹角的取值范围为________．（解：如图，在单位圆中，取半径，设，作交圆于点，取的中点，过点作的平行