王树磊-9号奥数.doc

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1、济南幼儿师范高等专科学校初等教育学院2013——2014学年第二学期2009级理科专业（初中起点）高等数学期末考试王树磊09号有趣的方法在这章中我们将要学习运用组合论方法中的图论法、抽屉法、计数法解决一些有趣的实际问题。在人们从事的各种活动中，为了反映事物之间的关系，常在纸上用点和线画出各种各样的示意图。我们把它称为图论法。抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。例1附属小学四年一班有49名学生，一天，数学课的其昌老师对同学们说：“我可以断定，你们

2、中至少有5名同学的生日在同一个月。”　　同学们通过老师的解释，才明白其中的奥妙。即把1年的12个月看作12个“抽屉”，并且按照月份把这12个“抽屉”编上1—12号；把49名同学看作49个“桃子”，对于每个同学来说，他（她）是几月份生日的，就把他（她）放入第几号“抽屉”。于是问题转化为将49个桃子放入12个抽屉，由于49=12×4+1，根据抽屉原理，一定有一个抽屉里被放入了5个桃子。我们再把这些话翻译回去，就是：49名学生中至少有5名学生的生日在同一个月。　例2把1600元人民币奖给100名优秀学生，为什么至少有4名学生得到的

3、钱一样多？　　要使没有4名学生得到的钱一样多，那么至多有3名学生得到的一样多。这样3名学生分为一组，最经济的分法为：3人每人只得0元，3人每人只得1元……3人每人只得32元，还有1人得33元。这样一共需要3×（0+1+2+3+…+32）+33=1617（元）　　比实际钱数多出17元，这17元无论从哪一组或哪几组中取出，都至少有4名学生得的一样　例3．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？　　解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须

4、大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。　例4．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？　　解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。例5某公司在六个城市A、B、C、D、E、F设有分公司。各城市间的直接航线的票价如下表所示。ABCDEFABCDEF50—4025101520—2510

5、20—102555求A城市到各城市间票价最低的航线。答案：由表知从A到B、C、D、E、F票价最低的航线分别为：A10F25B；A25E20C；A25E10F；A25E；A10F。例6有甲、乙、丙、丁、戊、已六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。表中打√的是各运动员报名参加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，才能保证每名运动员都不连续地参加两项比赛。ABCDEF甲√√√乙√√√丙√√丁√√戊√√√已√√√解：把比赛项目作为研究对象，用点表示。如果两个项目有同一名运动员参加，就在代表这两个项目的点之间连

6、成一条线，可得一图。在该图中只要找出一个点的序列，使依次排列的两个点间没有连线，就能保证每名运动员不会连续参加两项比赛。例如，从图上可看出，按照A、C、B、F、E、D顺序安排比赛，即可满足要求。例7：有27支小足球队参加足球比赛，（1）如果每两队比赛一场（即进行单循环比赛），需要比赛多少场？（2）如果进行淘汰赛最后决出冠军，共需比赛多少场？【解】（1）∵27支小足球队参加足球比赛∴第一支足球队比完26场，第二支还需比25场，第三支比24场……以此类推下去，即需要比赛26+25+24+…+1==351（场）（2）每比赛一场球赛

7、就会淘汰一支足球队，所以进行淘汰赛最后决出冠军，共需比赛27-1=26场例8：47人参加一次数学竞赛，比赛共有三道题，结果30人做对了第一道题，11人做对了第二道题，7人做对第三道题.做对了第一、二题的有3人，.做对了第一、三题的有5人，.做对了第二、三题的有4人，全部做错的人数在8~10之间，试求三道题都做对的人数.【解】第一道30311第二道5478~10第三道全部做错∵全部做错的人数在8~10之间47-8=39，47-10=37∴做对题的人数：47-8=39，47-10=37在37~39之间除全部做错和全部做对外的人数

8、：30+11+7-3-5-4=36（人）则三道题都做对的人数：37-36=1（人）或38-36=2（人）或39-36=3（人）例9：有红、白、黑三种颜色的球各10个混合放在一个袋子里，从中至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中有两对颜色不同的球.【解】从最不利的情况考虑，开始摸出的10个球