拉普朗斯变换.ppt

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1、8.1Laplace变换的概念一、问题的提出二、Laplace变换的概念和存在定理三、常见函数的Laplace变换1Fourier变换的两个限制：一、问题的提出23tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4二、Laplace变换的概念及存在定理1、Laplace变换的概念ℒℒ5例1求单位阶跃函数解：根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有ℒℒ6例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)解：根据拉氏变换的定义

2、,有ℒℒ7(1)在t0的任一有限区间上分段连续;(2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

3、f(t)

4、Mect,0t<则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:8MMectf(t)tO9说明：由条件2可知,对于任何t值(0t<),有

5、f(t)est

6、=

7、f(t)

8、e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,若令b-ce>0(即bc+e=c1>c),则

9、f(t)e-

10、st

11、Me-et.所以注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);注2:存在定理的条件是充分但非必要条件.由此得出，当Res>c时，存在定理中的积分存在且绝对收敛.103.周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式.当在一个周期上连续或分段连续时,则有是周期为的周期函数,即可以证明:若ℒ11例3求单位脉冲函数的拉氏变换三、常见函数的Laplace变换解：ℒ例1ℒ例2ℒ12例4求幂函数的拉氏变换当为正整数时,ℒ解：ℒ13例5求正弦函数的拉氏变换ℒ解：则所以ℒ14如ℒℒ同理可得ℒ15作业：P299-2801.(1)(2

12、).2.(1).16