用《超级画板》对线段进行任意等分的11种作法.pdf

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1、用《超级画板》对线段进行任意等分的11种作法许苏华本文发表于《中学教辅》引题：怎样把一条任意线段三等分?如果把引题进行推广：对任意线段进行n等分，又如何作图呢？利用《超级画板》几何作图及编程功能，给出8种他人的作法以及3种自己的作法.一、尺规作图等分线段只利用尺规，怎样把任意一条线段三等分？如图1所示，操作步骤如下：图11.先画出要等分的线段AB，并作射线AC；2.以点A为圆心，以任意长度为半径画圆，交射线AC于点D；3.再以点D为圆心，作同样半径的圆，交射线AC于点E，同法作出点F；4.连接FB，作DH//EG

2、FB//，则点H、G把线段AB分成三等分.对于线段的n等分，同法.二、单尺作图等分线段只利用直尺，怎样把任意一条线段三等分？如图2所示，操作步骤如下：图21.先画出要等分的线段AB，并任作其平行线CD，在直线CD的另一侧任取一点E；2.连接AE和BE，交直线CD于点F、G，再连接FB和GA相交于点I，连接EI，并延长交AB于点H，则点H平分线段AB；3.再连接GH，交FB于点J，连接EJ并延长交AB于点K，则点K是三等分点.对于线段的四等分，最简单的办法就是平分线段后再平分线段.也可以利用上面的方法，在三等分点的

3、基础上再作四等分点.依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点.详细作法及证明见参考文献[1].三、大卫-丹尼尔等分线段早在1996年，美国康涅狄格州的两名中学生，15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德，借助几何画板成功地用另一种方法，证明了线段可以任意等分的这一古老定理.我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：图31.先画出要等分的线段AB，以AB为边作正方形ABCD；2.连接AC，作AB的中点E，连接DE，交AC于点F；3.过点F作AB的垂线FG，点G即为线

4、段AB的三等分点.对于n等分点，都是可以通过二等分点和三等分点迭代作.详细作法及证明见参考文献[2].四、秦世锐等分线段1998年秦世锐提出了一种新方法，如图4所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：图41.先画出要等分的线段AB，并作射线AC；2.在AC上任取一点D，再取点E使得ADDE；3.连接BE，并延长到点G使得BGBE；4.连接GD交AB于点H，点H即是线段AB的三等分点.对于n等分点，利用递归方法作.比如作AB的四等分点，我们利用此方法先作AE的三等分点.详细作法及证明见参考文献[3].五、平行

5、线等分线段利用平行线，怎样把任意一条线段三等分？如图5所示，操作步骤如下：图51.先画出要等分的线段AB，并作其平行线CD，在CD上任取一点E，并作出点F、G使得EFFGCE；2.连接CA并延长到点H，连接GB并延长交CH于点I；3.再连接IE和IF，分别交线段AB于点K、J，则点K、J把线段三等分.对于线段的n等分，同法.六、石坚等分线段2004年，石坚在中学生数学杂志上发表了一篇文章，名为《线段的多等分》，使用了一种新办法，把简化如下，如图6所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：图61.先画出要等分的

6、线段AB，过点B作AB垂线BC；2.作线段AB的中点D，再以点B为圆心，BD为半径作圆B，交BC于点E；3.连接DE、AE，作DBE的角平分线分别交DE、AE于点F、H；4.过点H作AB的垂线HI，则I是线段AB的三等分点.对于线段的2n+1等分，我们都可以先作2n等分，再用类似的办法，作其2n+1等分点.对于2n等分，可以先平分，直到为奇数，再用石坚方法作.详细作法及证明见参考文献[5].七、黄益先等分线段2006年，黄益先提出一种新的三等分线段的方法，如图7所示，操作步骤如下：图71.先画出要等分的线段AB

7、，再作线段AC；2.在线段AC上任取一点D，再作点E、F使得FEEDDA；3.连接FB、EB、DB，作线段FB中点G，再连接AG，分别交线段EB、DB于点H、J；4.连接FH并延长交AB于点I，连接FJ并延长交AB于点K，则点K、I把线段AB三等分.对于n等分，在直线AC上取n等分线段，其它步骤类似三等分点作法可作n等分点.证明见参考文献[6].八、正分法等分线段2008年，岳山提出一个被他称作为线段的正分法的新方法.利用此方法，如图8所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：图81.先画出要等分的线段AB，

8、再分别以A和B为圆心，AB长度为半径作圆A和圆B，交于C和D两点，连接CD交AB于点E；2.以点B为圆心，BE为半径作圆，交AB延长线于点F；3.以F为圆心，FA为半径作圆F，与圆A交于G与H两点，连接GH交AB于点I，I即是线段AB的三等分点.对于线段的n等分，可利用类似的方法作出.详细作法及其证明见参考文献[7].九、定比分点等分线段中学数学课本中已经提到定比分点公式