7.3.2用超级画板研究几何问题

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1、用《超级画板》研究几何问题彭翕成华中师范大学教育部教育信息技术工程研究中心，武汉430079刘芸湖北大学数学与计算机科学学院430062教科书上有这样一个轨迹问题：在上任取一点，对平面上的任一点，试求点在圆周上运动时，线段中点的轨迹问题。我们以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系。于是可设点坐标为（为圆的半径），点坐标为，则中点的坐标为（为参数），消去参数得点的轨迹方程，轨迹为以中点为圆心，为半径的圆（图1）。对这一例子，我们可以讨论直线上任一分为定比的点的轨迹，结果也是圆。图1图2事实上，点和均可以看作是以点为位似中心，以

2、一定比例放缩点得到，则点和的轨迹与点相似。探索1、两圆周上的点运动同步时，连线段上的点的轨迹如果将点放大，使之膨胀成圆，或者说点也在一圆周上运动，情况将如何呢？设点所在圆的圆心为。我们使用智能化动态几何软件《超级画板》，作出以、为主动点，线段的中点为从动点的轨迹（图2），结果还是一个圆！为方便起见，我们仍以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系。于是可设点坐标为（为的半径），点坐标为（--5--为的半径），则中点的坐标为（、为参数）.将（1）、（2）变形得，。两式平方求和并整理得：。当、以同样的周期运动时，为定值，此时点的轨迹

3、为圆。事实上，当、以同样的周期运动时，直线上任一分点的轨迹都是圆。探索2、两圆周上的点运动不同步时，连线段上的点的轨迹在上述问题中，如果当、的运动不同步呢？此时不妨假设与的角速度之比为，则他们的周期之比为，若他们均从所在圆与轴交点的右交点开始运动，则点坐标为，点坐标为，则中点的坐标为：（为参数）.图3-4分别表示和时，中点的轨迹。这里参数方程的表示远比一般方程简洁容易，所以对一般方程的讨论不再进行。这里我们使用《超级画板》仅需要修改点的轨迹属性中两主动点、的周期比，将其默认的改为、等等。操作简单，一目了然。如果我们将图3-

4、4中的轨迹进行填充的话，就可以得到图5-6的图案。我们继续作出周期比为，的图案（图7-8）就会发现【规律1】：当周期比为时，点的轨迹是一个有层的花，该花在外面的层每层都有片花瓣，而在最里层则是一个由条弧线围成的图形。--5--图3图4图5图6图7图8图9-10分别表示和时，中点的轨迹。图9图10我们继续作出周期比为，的图案（图11-12）就会发现【规律2】：当周期比为（、互素）时，点的轨迹是一个有层的花，该花在外面的层每层都有片花瓣，而在最里层则是一个由条弧线围成的图形。--5--图11图12我们继续作出周期比为，的图案（

5、图13-14）就会发现【规律3】：当周期比为（），且、的最大公约数等于时，点的轨迹是一个有层的花，该花在最里层是一个由条弧线围成的图形，外面的各层都有片花瓣。图13图14需要注意的是上述结论对与不相等才适合！当时，对应的三个规律依次叙述如下：【规律1’】：当周期比为时，点的轨迹是一个有层的花，该花在每层都有片花瓣。图15-16是周期比分别为，的图案。图15图16【规律2’】：当周期比为（，且、互素）时，点的轨迹是一个有（表示不超过的最大整数）层的花，该花在每层都有片花瓣。图17-18是周期比分别为，的图案。--5--图17

6、图18【规律3’】：当周期比为（），且、的最大公约数等于时，点的轨迹是一个有层的花，该花在每层都有片花瓣。图19-20是周期比分别为，的图案。图19图20为什么会出现这样的规律呢？读者可以根据前面的参数方程进行讨论。--5--