人教A版高中数学选修4-4同步检测：第一讲_复习课.doc

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1、复　习　课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于伸缩变换的定义的易错点．对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式要区分(x，y)与(x′，y′)的意义．在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．关注直角坐标与极坐标互化的疑难点．由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定θ的大小．3．处理极坐标系问题中的两个易错点．(1)当极坐标方程中仅含θ(不含ρ)时，常常忽略ρ的正负导致判断错误．(2)平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离

2、

3、AB

4、＝，极坐标系中两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离

5、P1P2

6、＝.在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．专题一　平面上的伸缩变换1.点P(x，y)变为点Q(x′，y′)的伸缩变换为：2．变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我们可以求出第三个．但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x，y)是变换前的坐标，Q(x′，y′)是变换后的坐标．[例1]　在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变成曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．点拨：考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中，即可得

7、到原曲线方程．解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简得曲线C的方程为＋(y＋3)2＝，则该曲线是以为圆心，为半径的圆．归纳升华函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

8、]　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求曲线y2＝2x经过φ变换后所得的曲线方程．解：设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：得代入y2＝2x，得y′2＝x′，即y′2＝x′，因此变换后曲线的方程为y′2＝x′.专题二　直线和圆的极坐标方程直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点满足的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理．应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程，如ρ＝2acosθ(a≠0)，ρ＝2asinθ(a≠0)，ρ＝r(r>0)及ρcosθ＝a，ρsinθ＝a，θ＝α，ρ＝2acos(θ－α)(α≠2kπ，k∈Z)．[例2]　在直角

9、坐标系Oxy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)，当θ＝时，ρ＝，所以N.(2)点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为，所以MN的中点P的直角坐标为，所以点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．归纳升华此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角

10、坐标方程的常用方法．[变式训练]　在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求

11、PQ

12、的最大值．解：因为ρ＝12sinθ，所以ρ2＝12ρsinθ，所以x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又因为ρ＝12cos，所以ρ2＝12ρ，所以x2＋y2－6x－6y＝0，所以(x－3)2＋(y－3)2＝36，所以

13、PQ

14、max＝6＋6＋＝18.专题三　极坐标与直角坐标互化如图所示，互化公式为：对于tanθ＝中θ值的确定，还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度．[例3]　⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sin

15、θ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由解得即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.归纳升华极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极