人教A版2020年高中数学选修2-2学案：第二章 2．2 2.2.1 综合法和分析法_含解析.doc

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1、2．2.1　综合法和分析法预习课本P85～89，思考并完成下列问题(1)综合法的定义是什么？有什么特点？　　(2)综合法的推证过程是什么？　　(3)分析法的定义是什么？有什么特点？　　(4)分析法与综合法有什么区别和联系？　　[新知初探]1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法→→→…→(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点从要证明的结论出发→逆推，逐步

2、寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法→→…→证法或执果索因法3．综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果倒溯，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述繁琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息[点睛]　一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述

3、解题过程．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．(　　)(2)分析法就是从结论推向已知．(　　)(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．若a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)A．a2＞ab　　　　　　B．ab＞b2C.＞D．a2＞b2答案：C3．欲证－＜－成立，只需证(　　)A．(－)2＜(－)2B．(－)2＜(－)2C．(＋)2＜(＋)2D．(－－)2＜(－)2答案：C4．如果a＞b，则实数a，b应满足的条件是_______

4、_．答案：a＞b＞0综合法的应用[典例]　在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥b.[证明]　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.∵左边＝＋＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝(a＋c)＋＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b＝右边，∴acos2＋ccos2≥b.当且仅当a＝c时等号成立．综合法的解题步骤[活学活用]1．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2＝(a2＋b2

5、)(c2＋d2)＝右边，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．2．设数列{an}满足a1＝0，－＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1.解：(1)∵－＝1，∴是公差为1的等差数列．又∵＝1，∴＝n，an＝1－.(2)证明：由(1)得bn＝＝＝－，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1.∴Sn＜1.分析法的应用[典例]　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．[证明]　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证≥

6、(a＋b)，只需证()2≥2.即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分

7、条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[活学活用]已知a，b，c都为正实数，求证：≥.证明：要证≥，只需证≥2，只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以≥成立．分析法与综合法的综合应用[典例]　已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1.求证：logx＋logx＋logx＜logxa＋

8、logxb＋logxc.[证明]　要证明logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logx＜logx(abc)，由已知0＜x＜1，只需证明··＞abc，由公式≥＞0，≥＞0，≥＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴··＞＝ab