2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程 Word版含答案.pdf

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1、第1讲直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式y－yy－y经过两点P(x，y)，P(x，

2、y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝21＝12.11122212x－xx－x21123．直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y－y＝k(x－x)00斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线y－yx－x两点式1＝1不能表示平行于坐标轴的直线y－yx－x2121xy截距式＋＝1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线abAx＋By＋C＝0一般式可以表示所有类型的直线(A，B不同时为零)常用结论1．直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．π(2)不是倾斜角越大，斜

3、率k就越大，因为k＝tanα，当α∈0，2时，α越大，斜率kππ就越大，同样α∈2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠2时就不是了．2．识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为．答案：x－y－5＝02．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为．答案：2x＋3

4、y＋2＝03．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为．答案：12x－y－18＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x，y)的直线都可以用方程y－y＝k(x－x)表示．()0000(5)经过任意两个不同的点P(x，y)，P(x，y)的直线都可以用方程(y－y)(x－x)＝(x111222121－

5、x)(y－y)表示．()121答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)对倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为0的情况．1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()ππA.B.632π5πC.D．3633解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，335π所以α＝.62．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设xy23直线方程为＋＝1，则＋＝1，

6、解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.aaaa答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()[0，π)π3πA.B.0，4∪4，ππππC.0，4D．0，4∪2，π(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanπ

7、3πθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.441－0(2)如图，因为k＝＝1，AP2－13－0(][1，＋∞)k＝＝－3，所以直线l的斜率k∈－∞，－3∪.BP0－1【答案】(1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)ππ【迁移探究1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcosα－y－3＝0α∈6，3的倾斜角的变化范围为．ππ13解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈6，3，所以2≤cosα≤2，因此k＝2cosα∈[1，

8、3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以ππππθ∈4，3，即倾斜角的变化范围是4，3.ππ答案：4，3【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．1－013－0解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以k＝＝，k＝AP2－（－1）3BP0－（－1）＝3.1由图可知，直线l斜率的取值范围为3，3.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tan