2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：2.3导数的简单应用 Word版含解析.pdf

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1、第3讲导数的简单应用考点1导数运算及几何意义1．导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；1(4)(logx)′＝(a>0，且a≠1)．axlna2．导数的几何意义函数f(x)在x处的导数是曲线f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，000曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x)，相应的切线方程为y－f(x)00＝f′(x)·(x－x)．00[例1](1)[2019·全国卷Ⅰ]曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为____

2、____；(2)[2019·全国卷Ⅲ]已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1【解析】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′

3、＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.x＝0(2)本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算．因为y′＝

4、aex＋lnx＋1，所以y′

5、＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的x＝1切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，a＝e－1解得b＝－1，b＝－1.【答案】(1)y＝3x(2)D1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x，y)，求y＝f(x)过点P的切线方程：00求出切线的斜率f′(x)，由点斜式写出方程．0(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x，y)，通过方程k＝f′(x)解得x，再由点斜式写出方程

6、．0000(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x，y)，利用导数求得切线斜率f′(x)，然后由斜率公式求000得切线斜率，列方程(组)解得x，再由点斜式或两点式写出方程．02．[警示]求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标.『对接训练』1．[2019·云南师大附中适应性考试]曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0，则a＝()1A.B．221C．ln2D．ln2解析：由题意知，y′＝axlna，则

7、在x＝0处，y′＝lna，又切点1为(0,1)，∴切线方程为xlna－y＋1＝0，∴a＝.故选A.2答案：A2．[2019·河北保定乐凯中学模拟]设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()1A．2B.41C．4D．－2解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝g′

8、(1)＋2＝4.故选C.答案：C考点2利用导数研究函数的单调性1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．[例2][2019·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【解析】本题主要考查导数在研究三次

9、函数单调性、最值中的应用，考查考生的运算求解能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．a令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.3aa若a>0，则当x∈(－∞，0)∪，＋∞时，f′(x)>0；当x∈0，33aa时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，，＋∞单调递增，在0，单调递33减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；aa若a<0，则当x∈－∞，∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x

10、∈，033aa时，f′(x)<0.故f(x)在－∞，，(0，＋∞)单调递增，在，0单调递33减．(2)满足题设条件的a，b存在．(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满