2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：5.3空间向量与立体几何 Word版含解析.pdf

《2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：5.3空间向量与立体几何 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第3讲空间向量与立体几何考点1向量法证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a，b，c)．平面α，β的法向量分111别为u＝(a，b，c)，v＝(a，b，c)．222333(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.121212(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a＝ka，b＝kb，c＝kc.121212(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a＝ka，b＝kb，c＝kc.232323(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.232323[例1][2019·甘肃兰州质检]在直三棱柱ABC－ABC中，∠ABC111＝90

2、°，BC＝2，CC＝4，点E在线段BB上，且EB＝1，D，F，G111分别为CC，CB，CA的中点.11111求证：(1)BD⊥平面ABD；1(2)平面EGF∥平面ABD.【证明】(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB所在的直线分别为1x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，1→→→所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，BD＝(0,2，－2)，1→→→→BD·BA＝0，BD·BD＝0＋4－4＝0，11即BD⊥BA，BD⊥BD.11又BA∩BD＝B，BA，BD⊂

3、平面ABD，因此BD⊥平面ABD.1a(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，1，4，F(0,1,4)，2→a→则EG＝2，1，1，EF＝(0,1,1)，→→→→BD·EG＝0＋2－2＝0，BD·EF＝0＋2－2＝0，11即BD⊥EG，BD⊥EF.11又EG∩EF＝E，EG，EF平面EGF，因此BD⊥平面EGF.1结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面中的要素；(3)通

4、过空间向量的运算研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题.『对接训练』1．[2018·山东聊城模拟]如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，1111M，0，0，O，，.2222→11→(1)

5、OM＝0，－，－，BA＝(－1,0,0)，22→→→→所以OM·BA＝0，所以OM⊥BA.→因为棱柱ADE－BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以BA是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，所以OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n＝(x，y，z)，1111n＝(x，y，z)．2222→→1→→因为DF＝(1，－1,1)，DM＝(，－1,0)，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，2－1,1)，x－y＋z＝0，→→111由n·DF＝n·DM＝0，得111x－y＝0，2111y＝x，12111解得令x＝1，则n＝

6、1，，－.11122z＝－x.121同理可得n＝(0,1,1)．2因为n·n＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.12考点2向量法求空间角1．向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，

7、a·b

8、则cosθ＝

9、cos〈a，b〉

10、＝.

11、a

12、

13、b

14、2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，

15、n·a

16、则sinθ＝

17、cos〈n，a〉

18、＝.

19、n

20、

21、a

22、3．向量法求二面角求出二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量n，n，若二面角12

23、n·n

24、α-l-β所成的角θ为锐角，则cosθ＝

25、cos

26、〈n，n〉

27、＝12；若二面角12

28、n

29、

30、n

31、12

32、n·n

33、α-l-β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－

34、cos〈n，n〉

35、＝－12.12

36、n

37、

38、n

39、12[例2][2019·浙江卷]如图，已知三棱柱ABC－ABC，平面AACC⊥平11111面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AA＝AC＝AC，E，F分别是11AC，AB的中点．11(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．1【解析】本题主要考查空间直线与直线垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的