2020版高考数学一轮复习课后限时集训47抛物线文含解析北师大版2.pdf

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1、课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为()11A．B．－C．4D．－4441111B[由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－a2a2a4a1＝1，解得a＝－.]42．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＝－4B．x＝4C．y2＝8xD．y2＝16xD[依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶

2、点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D.]3．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，

3、AB

4、＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3B．4C．6D．8C[设A(x，y)，B(x，y)，则

5、AB

6、＝x＋x＋p＝16，又p＝4，所以x＋x＝12，所以11221212x＋x点C的横坐标是12＝6.]24．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()A．y＝4x2B．y＝12x2C．y2＝6xD．y2＝12xppD[设抛物线方程为

7、y2＝2px(p＞0)，则准线方程为x＝－，由题知1＋＝4，∴p＝6，22∴抛物线方程为y2＝12x，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且

8、PM

9、＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()62182A．B．774222C．D．77C[设P(x，y)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故

10、PM

11、＝x＋1＝9，0000－4242解得x＝8，故P点坐标为(8,42)，所以k＝＝.]0PF1－87二、填空题6．(2019·

12、泰安期末)若抛物线x2＝4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是________．9[根据题意，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]167．(2019·营口期末)直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若

13、AB

14、＝，则3k＝________.±3[设A(x，y)，B(x，y)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以

15、AB

16、＝11221610y2＝4x，x＋x＋2＝，所以x＋x＝.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0

17、，123123y＝kx－2k2＋410所以x＋x＝＝，所以k＝±3.]12k238．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0)[由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题119．(2019·襄阳模拟)已知点F0，，M(0,4)，动点P到点F的距离与到直线y＝－

18、的44距离相等．(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在定直线y＝a，使得以PM为直径的圆与直线y＝a的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．11[解](1)设P(x，y)，由题意得x2＋y－2＝y＋，化简得y＝x2.44∴点P的轨迹方程为x2＝y.(2)假设存在定直线y＝a，使得以PM为直径的圆与直线y＝a的相交弦长为定值，tt2＋4t2＋t2－2设P(t，t2)，则以PM为直径的圆方程为x－2＋y－2＝，224∴以PM为直径的圆与直线

19、y＝a的相交弦长为t2＋t2－2t2＋4l＝2－－a24215＝2a－t2－a2＋4a4151515若a为常数，则对于任意实数y，l为定值的条件是a－＝0，即a＝时，l＝.4421515∴存在定直线y＝，以PM为直径的圆与直线y＝的相交弦长为定值．4410．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且

20、AF

21、＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．p[解](1)由抛物线定义

22、可得

23、AF

24、＝2＋＝3，解得p＝2.2∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)，由A(2,22)，F(1,0)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)，y＝22x－，11由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B，－2.y2＝4x，222222又G(－1,0)，∴k＝