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《2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：13_§ 3_2 导数与函数单调性 教师备用题库 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、教师专用真题精编(2018天津,20,14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logx,其中a>1.a(1)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线与曲线y=g(x)在点(x,g(x))处的1122切线平行,证明x+g(x)=-;12(3)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.解析本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)
2、由已知,h(x)=ax-xlna,有h'(x)=axlna-lna.令h'(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:x(-∞,0)0(0,+∞)h'(x)-0+h(x)↘极小值↗所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)证明:由f'(x)=axlna,可得曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率为11lna.由g'(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x,g(x))处的切线斜率为.22因为这两条切线平行,故有,lna=即x(lna)2=1.2两边取以a为底的对数,得logx
3、+x+2loglna=0,a21a所以x+g(x)=-.12(3)证明:曲线y=f(x)在点(x,)处的切线l:y-=lna·(x-x).111曲线y=g(x)在点(x,logx)处的切线l:y-logx=(x-x).2a22a22要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x∈(-∞,+∞),x∈(0,+∞),使得l与l重合.1212即只需证明当a≥时,,方程组有解.--,由得x=,代入,2()得++=0.③-xlna+x11因此,只需证明当a≥时,关于x的方程③存在实数解.1设函数u(x)=a
4、x-xaxlna+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点.u'(x)=1-(lna)2xax,可知x∈(-∞,0)时,u'(x)>0;x∈(0,+∞)时,u'(x)单调递减,又u'(0)=1>0,u'=1-<0,故存在唯一的x,且x>0,使得()00()u'(x)=0,0即1-(lna)2x=0.0由此可得u(x)在(-∞,x)上单调递增,在(x,+∞)上单调递减.u(x)在x=x处取000得极大值u(x).0因为a≥,故lnlna≥-1,所以u(x)=-xln00a+x++=+x+≥≥0.00()下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(1)可得
5、ax≥1+xlna,当x>时,有u(x)≤(1+xlna)(1-xlna)+x++=-(lna)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0.因此,当a≥时,存在x∈(-∞,+∞),使得u(x)=0.11所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
