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《2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练：37 数学归纳法 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考点规范练37数学归纳法考点规范练A册第25页基础巩固1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A.1B.9C.10D.n>10,且n∈N*答案C解析210=1024>103.故选C.3.如果命题P(n)对于n=1成立,同时,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是()A.P(n)
2、对于所有的自然数n都成立B.P(n)对于所有的正奇数n都成立C.P(n)对于所有的正偶数n都成立D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立答案B解析由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N*)时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3答案A解析假设n=k(k∈N*)时,
3、k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.5.对于不等式4、误.6.已知凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2答案C解析边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.7.由下列不等式:1>,1+>1,1++…+,1++…+>2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.解一般结论:1++…+(n∈N*),证明如下:-(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即1++…+.-当n=k+1
5、时,1++…++…++…+---+…+.∴当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立.8.观察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,……(1)写出第5个等式;(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想.解(1)第5个等式为5+6+7+…+13=81.(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.证明:①当n=1时显然成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时成立,即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.则当n=k+
6、1时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据①②知,等式对任何n∈N*都成立.9.设a>0,f(x)=,令a=1,a=f(a),n∈N*.1n+1n(1)写出a,a,a的值,并猜想数列{a}的通项公式;234n(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解∵a=1,∴a=f(a)=f(1)=;a=f(a)=;a=f(a
7、)=.猜想a=(n∈N*).1213243n-(2)证明①易知当n=1时,猜想正确.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,即a=,则a=f(a)=-k-k+1k-=.--故n=k+1时,猜想正确.由①②知,对于任何n∈N*,都有a=.n-能力提升10.利用数学归纳法证明不等式1++…+
