2020届高考数学大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 Word版含答案.pdf

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1、第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系x2y21．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()5mA．m>1B．m>0C．00且m≠5，∴m≥1且m≠5.x2

2、y22．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：42(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，y＝2x＋m，①得方程组x2y24＋2＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－32

3、的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二弦长及弦中点问题命题点1弦长问题x2典例斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

4、AB

5、的最大值为()445410810A．2B.C.D.555答案C解析设A，B两点的坐标

6、分别为(x，y)，(x，y)，1122直线l的方程为y＝x＋t，x2＋4y2＝4，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，y＝x＋t，84t2－1则x＋x＝－t，xx＝.125125∴

7、AB

8、＝1＋k2

9、x－x

10、12＝1＋k2·x＋x2－4xx121284t2－142＝2·－t2－4×＝·5－t2，555410当t＝0时，

11、AB

12、＝.max5命题点2弦中点问题x2y2典例已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若a2b2AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()x2y2x2y2A.＋＝1B.＋＝1

13、45363627x2y2x2y2C.＋＝1D.＋＝12718189答案D解析设A(x，y)，B(x，y)，1122x2y21＋1＝1，a2b2所以运用点差法，x2y22＋2＝1a2b2b2所以直线AB的斜率为k＝，a2b2设直线方程为y＝(x－3)，a2联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，6b2所以x＋x＝＝2，12a2＋b2又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.命题点3椭圆与向量等知识的综合x2y21典例(2017·沈阳质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距a2b221→→为2，直线l与椭圆C交于点A，

14、B，线段AB的中点横坐标为，且AF＝λFB(其中λ>1)．4(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．1解(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，2故b2＝a2－c2＝3，x2y2∴椭圆C的标准方程为＋＝1.43→→(2)由AF＝λFB，可知A，B，F三点共线，设点A(x，y)，点B(x，y)．1122若直线AB⊥x轴，则x＝x＝1，不符合题意；12当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为y＝k(x－1)．y＝kx－1，由x2y2消去y得4＋3＝1，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)

15、＝144(k2＋1)>0.8k2x＋x＝，124k2＋3∵4k2－12xx＝，124k2＋38k2111∴x＋x＝＝2×＝，∴k2＝.124k2＋34241将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，41±35解得x＝.4→→→→又AF＝(1－x，－y)，FB＝(x－1，y)，AF＝λFB，11221－x即1－x＝λ(x－1)，λ＝1，又λ>1，12x－123＋5∴λ＝.2思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题