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《浙江专用2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第2课时直线与椭圆讲义含解析.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是( )A.m>1B.m>0C.02、由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5.2.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)当Δ>0,即-33、Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点14、 弦长问题例1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则5、AB6、的最大值为( )A.2B.C.D.答案 C解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.∴7、AB8、=9、x1-x210、=·=·=·,当t=0时,11、AB12、max=.命题点2 中点弦问题例2 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为____________13、____.答案 x+2y-3=0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=,又∵x1+x2=2,∴=2,解得k=-.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y214、),则+=1,①+=1,②①-②得+=0,∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,∴k==-.∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则15、AB16、==(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下17、进行的,不要忽略判别式.跟踪训练1已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.(2)方法一 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线18、段AB的中点,且19、AB20、=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2.于是21、AB22、=23、x1-x224、==,由25、AB26、=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.方法二 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)
2、由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5.2.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)当Δ>0,即-33、Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点14、 弦长问题例1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则5、AB6、的最大值为( )A.2B.C.D.答案 C解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.∴7、AB8、=9、x1-x210、=·=·=·,当t=0时,11、AB12、max=.命题点2 中点弦问题例2 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为____________13、____.答案 x+2y-3=0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=,又∵x1+x2=2,∴=2,解得k=-.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y214、),则+=1,①+=1,②①-②得+=0,∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,∴k==-.∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则15、AB16、==(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下17、进行的,不要忽略判别式.跟踪训练1已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.(2)方法一 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线18、段AB的中点,且19、AB20、=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2.于是21、AB22、=23、x1-x224、==,由25、AB26、=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.方法二 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)
3、Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点1
4、 弦长问题例1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则
5、AB
6、的最大值为( )A.2B.C.D.答案 C解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.∴
7、AB
8、=
9、x1-x2
10、=·=·=·,当t=0时,
11、AB
12、max=.命题点2 中点弦问题例2 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为____________
13、____.答案 x+2y-3=0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=,又∵x1+x2=2,∴=2,解得k=-.故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2
14、),则+=1,①+=1,②①-②得+=0,∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,∴k==-.∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则
15、AB
16、==(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下
17、进行的,不要忽略判别式.跟踪训练1已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.(2)方法一 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线
18、段AB的中点,且
19、AB
20、=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2.于是
21、AB
22、=
23、x1-x2
24、==,由
25、AB
26、=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.方法二 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)
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