2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时学案.doc

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1、第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1B．m>0C．00且m≠5，∴m≥1且m≠5.2．已知直线l：y＝2x

2、＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

3、合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二弦长及弦中点问题命题点1弦长问题典例斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为()A．2B.C.D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，

4、y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴AB＝x1－x2＝·＝·＝·，当t＝0时，ABmax＝.命题点2弦中点问题典例已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝，设直线方程为y＝(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2

5、－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2，又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.命题点3椭圆与向量等知识的综合典例(2017·沈阳质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝

6、1，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为y＝k(x－1)．由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.∵∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝.又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦

7、中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝＝(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练(2018·长春调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．解(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.将4x2＋5

8、y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴所求弦长MN＝x2－x1＝.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q