2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析.pdf

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1、离散型随机变量的均值与方差【考点梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xxx…x…x12inPpp…p…p12in(1)均值称E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型1122iinn随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D(X)＝(x－E(X))2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平iii＝1均偏离程度，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差.2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).3．两点分布与二项分布的均值

2、、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).【考点突破】考点一、离散型随机变量的均值与方差【例1】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).[解析](1)设A表示事件“日销售量

3、不低于100个”，A表示事件“日销售量低于5012个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，1P(A)＝0.003×50＝0.15，2P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C0·(1－0.6)3＝0.064，3P(X＝1)＝C1·0.6(1－0.6)2＝0.288，3P(X＝2)＝C2·0.62(1－0.6)＝0.432，3P(X＝3)＝C3·0.63＝0.216.3分布

4、列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.【类题通法】1．均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；n(3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X)，进一步由公式D(X)＝(x－EX)2piii＝1＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．2．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；(2)可以根

5、据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．【对点训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润

6、．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．[解析](1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000，800X－39000，100≤X＜130，所以T＝65000，130≤X≤15

7、0.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.考点二、均值与方差在决策中的应用【例2】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资结算方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙