2019版数学人教B版必修4训练：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析.pdf

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1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课时过关·能力提升1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为()A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D.(-3,2)-解析:设c=(x,y),则有--解得故c=(-3,-2).-答案:C2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且

2、m

3、=

4、n

5、,则n的坐标为()A.(b,-a)B.(-a,b)C.(-a,b)或(a,-b)D.(b,-a)或(-b,a)答案:D3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是()A.梯形B.矩形C.菱形

6、D.正方形解析:由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),所以,且=0,即,所以四边形ABCD是矩形.答案:B4.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(3,0),则

7、2a-b

8、的最大值为()A.4B.2C.25D.5解析:

9、2a-b

10、=---,因此当cos<2a,b>=-1时,

11、2a-b

12、取得最大值5.答案:D5.在Rt△ABC中,∠C=,AC=3,取点D使=2,则等于()A.3B.4C.5D.6解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a,∴C(0,0),A(3,0),B(0,a).设

13、D点坐标为(m,n),∵=2,即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=.∴·(3,0)=6,故选D.答案:D6.已知O为坐标原点,=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量的坐标为.答案:(11,6)7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且=t0≤t≤1则的最大值为.解析:·()=·(+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2.∵0≤t≤1∴0≤1-t≤1∴的最大值为a2.答案:a28.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点

14、B和向量的坐标.解:如图,设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2).∵,∴x(x-5)+y(y-2)=0,即x2+y2-5x-2y=0.∵

15、

16、=

17、

18、,∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即10x+4y=29.--解方程组得或-或;∴点B的坐标为-当点B的坐标为-时,--;当点B的坐标为时,-.综上,点B的坐标为---,-.或点B的坐标为★9.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且

19、ka+b

20、=

21、a-kb

22、(k>0).(1)用k表示数量积a·b;(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.解:(1)由

23、

24、ka+b

25、=

26、a-kb

27、,得(ka+b)2=3(a-kb)2,∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.∵

28、a

29、=1,

30、b

31、=1,∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,∴a·b=.(2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,则cosθ=,∴θ=60°.★10.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),.(1)求x与y的关

32、系式;(2)若,求x,y的值及四边形ABCD的面积.解:(1)∵=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),∴=-=(-x-4,2-y).∵=(x,y),∴x(2-y)-(-x-4)y=0,∴x与y的关系式为x+2y=0.(2)因为=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1),=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).∵,∴=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又由(1)的结论x+2y=0,得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.化简,得y2-2y-3=0.∴y=3或y=-1.①当y=3时,x=

33、-6,于是=(-6,3),=(0,4),=(-8,0).∴

34、

35、=4,

36、

37、=8.

38、

39、

40、=16.∴S=四边形ABCD②当y=-1时,x=2,于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4),∴

41、

42、=8,

43、

44、=4.

45、

46、

47、=16.∴S=四边形ABCD-综上,或四边形ABCD的面积为16.-