2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式 课件(人教b版必修4)

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1、2．3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量数量积的坐标运算已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的条件如果a⊥b，则；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b.a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝03．向量的长度、距离和夹角公式已知a＝(a1，a2)，则

2、a

3、＝，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.事实上这就是解析几何中两点间的距离公式．已知a＝(a1，a2)，b

4、＝(b1，b2)，则两个向量的夹角为cos＝.重点：数量积的坐标运算和度量公式．难点：公式的灵活运用．1．运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．注意平行与垂直关系的联系与区别．对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有(1)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)a∥b⇔a·b＝±

5、a

6、

7、b

8、⇔x1y2－x2y1＝0.2．对一些几何问题(如垂直关系)可考虑建立坐标系，利用向量坐标法去解决．[答案]A已知a＝(cosα，sinα)，b＝(c

9、osβ，sinβ)(0<α<β<π)，求证a＋b与a－b互相垂直．[分析]只要证(a＋b)·(a－b)＝0即可．[解析]解法一：由已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，得a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．又∵(a＋b)·(a－b)＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．解法二：∵a＝(c

10、osα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝

11、a

12、2－

13、b

14、2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．[点评]处理有关垂直总是要注意利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b是非零向量)，或者利用a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0(a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2))．[例2]设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．[分析]利用公式a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθ建立方程，解t的值．[辨

19、析]a与b的夹角是锐角，则a·b>0，且剔除a与b同向．[答案]D[解析]由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b.2．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于()A．3B．1C．－1D．－3[答案]B[解析]3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确[答案]C[答案]A二、填空题5．已知a＝(x－2，x＋3)，

20、b＝(2x－3，－2)，若a⊥b，则x＝________.[答案]4