【教学设计】《向量数量积的坐标运算与度量公式》（人教B版）

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1、《向量数量积的坐标运算与度量公式》◆教材分析平面向量数量积的坐标运算与度量公式表示，提供了数量积运算的两种不同的途径。准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程。同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具。◆教学目标【知识与能力目标】（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角；（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题；（3）掌握平面内两点间的距离公式。【过程与方法能力目标】通过平面向

2、量数量积的数与形两种表示的相互转化，使同学进一步体会数形结合思想，增强用两种方法—向量法和坐标法处理向量问题的意识。【情感态度价值观目标】通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神。◆教学重难点◆【教学重点】向量数量积的坐标运算和度量公式。【教学难点】平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。◆课前准备◆多媒体课件。◆教学过程一、温故而知新（1）a·b=b·a（2）λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)（3）（a+b）·c=a·c+b·c（4）（a+b）2=

3、

4、a

5、2+2a·b+

6、b

7、2（5）（a+b）·（a—b）=

8、a

9、2-

10、b

11、2（6）a·b=12(a+b2-a2-

12、b

13、2）二、探求新知1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e1，e2}，已知a=（a1 ，a2 ），b=（b1 ，b2），则a·b=a1e1+a2e2·（b1e1+b2e2）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2因为e1·e1=e2·e2=1，e1·e2=e2·e1=0所以我们得到数量积的坐标表达式a·b=a1b1+a2b2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积

14、的和。2.用向量的坐标表示两个向量的垂直条件如果a⊥b，则a·b=0；反之，如果a·b=0，则a⊥b。上述两个向量垂直的条件，换成两向量的数量积坐标表示，即为：如果a⊥b，则a1b1+a2b2=0；如果a1b1+a2b2=0，则a⊥b。因此：a⊥b⇔a1b1+a2b2=0当b1b2≠0时，条件a1b1+a2b2=0，可以写成a1-b2=a2b1=k3.向量的长度已知a=（a1，a2），则

15、a

16、2=a·a=a1，a2·（a1，a2）=a12+a22因此：

17、a

18、=a12+a22向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方

19、根。4.向量的距离如果A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2-x1，y2-y1）从而

20、AB

21、=（x2-x1）2+（y2-y1）2AB的长就是A、B两点之间的距离。5.向量的夹角公式由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数量积的定义，就可以直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式：cos=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22三、小试牛刀1.已知a=3，-1，b=1，-2，求a·b，

22、a

23、，

24、b

25、，解：a·b=3，-1·1，-2=3+2=5

26、a

27、=a12+a22

28、=10

29、b

30、=b12+b22=5cos=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22=22所以=45°2.已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证AB⊥AC证明：因为AB=（2，3）-（1，2）=（1，1）AC=（-2，5）-（1，2）=（-3，3）AB·AC=（1，1）·（-3，3）=0所以AB⊥AC四、总结a·b=a1b1+a2b2

31、a

32、=a12+a22

33、AB

34、=（x2-x1）2+（y2-y1）2cos=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22五、课后作业练

35、习A、练习B、习题2-3A、习题2-3B。◆教学反思略。