2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析.pdf

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1、2．2椭__圆2．2.1椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得x＋22＋y2＋x－22＋y2＝6，x2y2化简得＋＝1.95问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得x2＋y－22＋x2＋y＋22＝6，y2x2化简得＋＝1.95椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上x2y2y2x2标

2、准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)a2b2a2b2焦点坐标(±c,0)(0，±c)a、b、c的关c2＝a2－b2系1．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1]求适合下

3、列条件的椭圆的标准方程：14(1)经过两点(2，－2)，－1，；2y2x2(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．259[思路点拨](1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．[精解详析](1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2y2＋＝1(a>b>0)．a2b24211＋＝1，＝，a2b2a28由已知条件得解得

4、11411＋＝1，＝.a24b2b24x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.84y2x2若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2b24211＋＝1，＝，b2a2b28由已知条件得解得11411＋＝1，＝.b24a2a24即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去．x2y2综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.8414法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－2)，－1，2代入，14A＋2B＝1，A＝8，得14解得A＋B＝1，14B＝

5、，4x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.84y2x2(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，259所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.y2x2设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2b2因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①(－5)232又点(3，－5)在椭圆上，所以＋＝1，a2b253即＋＝1.②a2b2由①②得b2＝4，a2＝20，y2x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.204[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经

6、过点(5,0)；111(2)经过两点P，，Q0，－.332解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.x2y2故所求椭圆方程为＋＝1.259(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，11A＋B＝1，99B＝4，解得：1A＝5，B＝1，4y2x2故所求椭圆方程为＋＝1.11452．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭

7、圆的焦点在x轴上，x2y2所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2b2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，220＋＝1，a2b2a2＝4，∴∴01b2＝1，＋＝1，a2b2x2故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.4y2x2(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2b2∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，y2x2∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.10036椭圆标准方程的讨论[例2]已知方程x2·sinα

8、－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围．(2