2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析.pdf

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1、2．2.2椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．x2y2以方程＋＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：a2b2问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？y2x2提示：由＝1－≥0，得－a≤x≤a.b2a2同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点

2、在y轴上图形x2y2y2x2标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)a2b2a2b2范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距FF＝2c12对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)c离心率e＝∈(0,1)a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0

3、当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段FF，此时也可认为FF为椭圆1212在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为y2x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，81∴c＝81－1＝80＝45，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦

4、点在y轴上，故其焦点坐标为F(0，－45)，F(0,45)，12顶点坐标为A(0，－9)，A(0,9)，12c45B(－1,0)，B(1,0)，e＝＝.12a9[一点通]求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．x2y211．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．m43解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，m－419得＝.解得m＝.m32当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，4－m132得＝，解得m＝.239932答案：或292．求椭圆4x2＋9y2＝3

5、6的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．x2y2解：椭圆方程变形为＋＝1，94∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，焦点坐标为F(－5，0)，F(5，0)，12c5顶点坐标为A(－3,0)，A(3,0)，B(0，－2)，B(0,2)，离心率e＝＝.1212a3由椭圆的几何性质求标准方程[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：4(1)长轴长为20，离心率等于；5(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求

6、出a、b、c，得到椭圆的标准方程．c4[精解详析](1)∵2a＝20，e＝＝，a5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.x2y2由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝10036y2x21或＋＝1.10036x2y2y2x2(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．a2b2a2b2由已知a＝2b，①且椭圆过点(2，－6)，从而有22－62－6222＋＝1或＋＝1.②a2b2a2b2由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.x2y2y2x2故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.1483752

7、13[一点通]在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．33．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的2两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．c3解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝33，b＝3.a2x2y2故椭圆方程为＋＝1.369x2y2答案：＋＝13694．求满足下列条件的椭圆的标

8、准方程：(1)焦点在y轴