2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：1.3 柱坐标系和球坐标系 Word版含答案.pdf

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1、第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系1．柱坐标系导疑1柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？导思1柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．导疑2在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？导思2ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面．导果(1)柱坐标系的概念建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与0□1有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应

2、关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做□02柱坐标系，□03有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作□04P(ρ，θ，z)，其中□05ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．柱坐标系又称半极坐标系，它是由□06平面极坐标系及□07空间直角坐标系中的一部分建立起来的．(2)直角坐标与柱坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝□08ρcosθ，y＝□09ρsinθ，z＝□10z.2．球坐标系导疑1在球坐标系中，方程r＝r(r为正常数)表示什么图形？00导思1在空间的球坐标系中，方程r＝r(r为正常数)表示球心

3、在原点，半00径为r的球面．0导疑2在球坐标系中，方程r＝1表示空间中的什么曲面？导思2在球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．导果(1)球坐标系建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记

4、OP

5、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的□11最小正角为θ．这样点P的位置就可以用有序数组□12r，φ，θ表示．这样，空间的点与□13有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(1□4或空间极坐标系)，□15有

6、序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作1□6Pr，φ，θ，其中□17r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．在测量实践中，球坐标中的角□18θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，□1990°－φ称为高低角．(2)空间直角坐标与球坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为x＝□20rsinφcosθ，y＝□21rsinφsinθ，z＝□22rcosφ.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．()(2)在柱坐标系中，方程θ＝θ表示与yOz坐标

7、面成θ角的半平面．()00(3)在球坐标系中，方程r＝r(r为正常数)表示球心在原点，半径为r的球000面．()(4)在球坐标系中，方程θ＝θ(0≤θ<2π)表示过z轴的半平面，它与zOx坐00标面夹角为θ．()0答案(1)√(2)×表示与zOx坐标面成θ角的半平面．0(3)√(4)√2．做一做3ππ(1)已知一个点的球坐标为2，，，则它的高低角为()44π3πππA．－B．C．D．4423答案A3πππ解析∵φ＝，∴它的高低角为－φ＝－．424π(2)点P的球坐标为1，，π，则它的直角坐标为()2A．(1，0，0)B．(

8、－1，－1，0)C．(0，－1，0)D．(－1，0，0)答案Dπ解析x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，2πy＝rsinφsinθ＝1·sinsinπ＝0，2πz＝rcosφ＝1·cos＝0，2∴它的直角坐标为(－1，0，0)．(3)已知点M的直角坐标为(0，1，2)，则它的柱坐标为________．π答案1，，22解析ρ＝x2＋y2＝02＋12＝1．π∵x＝0，y>0，∴θ＝．2π∴点M的柱坐标为1，，2．2π(4)已知N的柱坐标为2，，3，则它的直角坐标为________．2答案(0，2，3

9、)x＝ρcosθ，解析由变换公式y＝ρsinθ，得z＝z，ππx＝2cos＝0，y＝2·sin＝2，22故点N的直角坐标为(0，2，3)．探究柱坐标与直角坐标的互相转化1例1(1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标；π(2)已知点P的柱坐标为4，，8，求它的直角坐标．3x＝ρcosθ，解(1)由变换公式y＝ρsinθ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2．ytanθ＝＝3，又x>0，y>0，点A在第一象限．xππ∴θ＝，∴点A的柱坐标为2，，5．33x＝ρcosθ，(2

10、)由变换公式y＝ρsinθ，得：z＝zππx＝4cos＝2，y＝4sin＝23，z＝8．33∴点P的直角坐标为(2，23，8)．由直