(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第十九章 推理与证明(数学归纳法)讲义.pdf

《(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第十九章 推理与证明(数学归纳法)讲义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第十九章推理与证明(数学归纳法)考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017利用数学归纳法证明23题23题数学归纳法解答题★★★有关结论10分10分分析解读数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是命题的热点内容.通常与推理、数列、不等式证明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究下面用数学归纳法证明等式nfn-(1)由已知,得f(x)=f'(x)='=-,于是10(x)+xf(x)=sin对所有的n∈N*都成立.1n(i)当n=1时,由上可知等式成立.f(x)=f

2、'(x)='-'=--+,所以(ii)假设当n=k时等式成立,即kf21k-(x)+xf(x)=sin.f=-,f=-+.1k12因为[kf(x)+xf(x)]'=kf'(x)+f(x)+xfk-1kk-1k故2f+f=-1.12'(x)=(k+1)f(x)+xf(x),'=cos(2)证明:由已知,得xf(x)=sinx,等式两边分别对xkkk+10求导,得f(x)+xf'(x)=cosx,00·'=sin,即f(x)+xf(x)=cosx=sin,类似可得012f(x)+xf(x)=-sinx=sin(x+π),12所以

3、(k+1)f(x)+xf(x)=sin.kk+13f(x)+xf(x)=-cosx=sin,因此当n=k+1时,等式也成立.234f(x)+xf(x)=sinx=sin(x+2π).34综合(i),(ii)可知等式nf(x)+xf(x)=sin对所以=(n∈N*).n-1n所有的n∈N*都成立.令x=,可得nf+f=sin(n∈N*).n-1n五年高考考点数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{x}满足:x=1,x=x+ln(1+x)(n∈N*).n1nn+1n+1证明:当n∈N*时,(1)0

4、(2)2x-x≤;n+1n(3)≤x≤.n证明(1)用数学归纳法证明:x>0.n当n=1时,x=1>0.1假设n=k时,x>0,那么n=k+1时,若x≤0,则00.kk+1kk+1k+1k+1因此x>0(n∈N*).所以x=x+ln(1+x)>x.nnn+1n+1n+1因此0

5、x)(x≥0),f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0).函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此-2x+(x+2)ln(1+x)=f(x)≥0,n+1n+1n+1n+1故2x-x≤(n∈N*).n+1n(3)因为x=x+ln(1+x)≤x+x=2x,所以x≥.nn+1n+1n+1n+1n+1n由≥2x-x得-≥2>0,n+1n所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,故x≤.综上,≤x≤(n∈N*).nn2.(2014广东节选,19,14分)设数列{a}的前n项和为S,满足S=2na-3n2-4n

6、,n∈N*,且S=15.nnnn+13(1)求a,a,a的值;123(2)求数列{a}的通项公式.n解析(1)依题有解得a=3,a=5,a=7.123(2)∵S=2na-3n2-4n,①nn+1∴当n≥2时,S=2(n-1)a-3(n-1)2-4(n-1).②n-1n①-②并整理得a=.n+1由(1)猜想a=2n+1,下面用数学归纳法证明.n当n=1时,a=2+1=3,命题成立;1假设当n=k时,a=2k+1命题成立.k则当n=k+1时,a=k+1==2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,n∈N*,a

7、=2n+1.n3.(2014重庆,22,12分)设a=1,a=+b(n∈N*).1n+1(1)若b=1,求a,a及数列{a}的通项公式;23n(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a

8、下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a=+1,则ka=+1=+1=+1.k+1这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a=+1(n∈N*).n(2)解法一:设f(x)=-1,则a=f(a).n+1n令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加