（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第十九章推理与证明（数学归纳法）讲义

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1、第十九章推理与证明(数学归纳法)考纲解读考点内容解读要求OA1O五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017数学归纳法利用数学归纳法证明有关结论23题10分23题10分解答题★★★分析解读数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题，是命题的热点内容•通常与推理、数列、不等式证明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究厂❺解答过程】下面用数学归纳法证明等式nfn-件)to⑴由已知，得f((X)二f'°(X)二二竽-°,于是i(x)+xfn(x)二sin对所有的nWN*都

2、成立.f,x)二f'i(x)(i)当n=l时，由上可知等式成立.(ii)假设当时等式成立，即kfkfi=-,fz!2U1s卫二-+•i(x)+xf(x)二sin因为[kfk-i(x)+xfk(x)]'=kf'k-i(x)+fk(x)+xf故2f】(2)证明:由己知，得xfo(x)=sinx,等式两边分别对x隶导，得fo(x)+xf'o(x)=cosx,(x)=(k+1)fk(x)+xfkn(x),45,(心=cos即fo(x)+xf)(x)=cosx=sin2fi(x)+xf2(x)二-sinx

3、二sin(x+n),3E(x)+xfs(x)二-cos2x二sin所以(k+1)fk(x)+xf阳(x)二sin因此当n二k+1时，等式也成立.4f3(x)+xfl(x)二sinx二sin(x+2”).综合(i),(ii)可知等式nf„-i(x)+xf„(x)=sin2对所以皿3豳九PO所有的nWN*都成立.令x=3,可得nfn-i02S3GT+*tn=sm五年高考考点数学归纳法1.(2017浙江，22,15分)已知数列｛xj满足:xi=l,Xn=Xn+i+ln(l+Xn+i)(n^N*).证明：当

4、n^N*时，(l)O0.当n=l时，Xi=l>0.假设n=k时，xQO,那么n=k+l时，若Xk+iWO,则0O(n^N*).所以Xn=XiHl+ln(1+Xn+l)>Xn41.因此0

5、-2Xn+l+(Xn+1+2)In

6、(1+Xn+l).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)In(1+x)(xNO),f'(x)='5r+ln(l+x)>0(x>0).函数f(x)在［0,+8)上单调递增，所以f(x)Mf(0)=0,因此%4-2Xn+l+(Xn+l+2)ln(l+Xn+l)=f(Xn+l)N0,故2x”i-xW号曰(n丘N*).⑶因为Xn=Xn+l+ln(l+Xn+l)WXn+】+Xn+l=2Xn+l,所以XnM由2N2Xn+)-X“得丫，I所以訂邛去电…冷绘込厂,故xwE.综上,(nEN*).1.(2014广东节选

7、，19,14分)设数列｛a„｝的前n项和为Sn,满足Sn=2na„.-3n2-4n,neN且Ss=15.⑴求aba2,负的值；(2)求数列｛aj的通项公式.to■«!I«Z■<«!12Q解析⑴依题有匕=«i4-«a+*j=lS,解得ai=3,血二5,33=7.⑵*.*Slt=2na^i-3n2-4n,①・°•当心2时,Sn-i=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②①-②并整理得ann=由⑴猜想8F2n+l,下面用数学归纳法证明.当n二1时，a二2+1二3,命题成立；假设当n二k时,“

8、k二2k+l命题成立.则当n二k+1时，ak+i==2k+3=2(k+l)+l,即当n二k+1时，结论成立.综上，Vn€N*,an=2n+l.3.(2014重庆,22,12分)设a尸1,a廿+b(neN*).(1)若b=l,求勉加及数列｛a„｝的通项公式;(2)若b=-l,问：是否存在实数c使得a2n

9、-l,即箱冋+l(nWNj.解法二：32=2,as二也+1,可写为创二如+1,第御卜1,加二序！+1.因此猜想雪后1+1.下用数学归纳法证明上式:当n二1时结论显然成立.假设n=k时结论成立，即加二曲+1,则如］二心即*1+1二晶*1+11.这就是说，当n二k+1时结论成立.所以an=^®^+1(neN*).⑵解法一：设f(x)二念则如二f(a“).J令C=f(c),即c二衣E)1+-1,解得C=2.下用数学归纳法证明加强命题a2tl