2019年试题一轮优化探究理数 苏教版 第三章 第三节　导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc

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1、一、填空题1．函数y＝1＋3x－x3的极大值、极小值分别为________．解析：由y＝1＋3x－x3、得y′＝－3x2＋3、令y′＝0、即－3x2＋3＝0.得x＝±1.∵当x<－1时、y′<0；当－10；当x>1时、y′<0.∴当x＝1时、有y极大值＝1＋3－1＝3；当x＝－1时、有y极小值＝1－3＋1＝－1.答案：3、－12．函数y＝x3－3x2＋1的单调递减区间为________．解析：f′(x)＝(x3－3x2＋1)′＝3x2－6x、∵当f′(x)<0时、f(x)单调递减、∴3x2－6x<0、即0

2、案：(0,2)3．已知t为常数、函数f(x)＝

3、x3－3x－t＋1

4、在区间[－2,1]上的最大值为2、则实数t＝________.解析：由题意知－2≤x3－3x－t＋1≤2在x∈[－2,1]上恒成立、不等式左右两边分别分离变量、可得x3－3x－1≤t≤x3－3x＋3在x∈[－2,1]上恒成立、得1≤t≤1、所以t＝1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决．答案：14．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值、则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]、∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3

5、(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0、即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值、∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a2－4a－8>0、∴a>2或a<－1.答案：a>2或a<－15．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m、x∈R、若f(x)＋9≥0恒成立、则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m、所以f′(x)＝2x3－6x2、令f′(x)＝0、得x＝0或x＝3、经检验知x＝3是函数的最小值点、所以函数的最小值为f(3)＝3m－、不等式f(x)＋9≥0恒成立、即f(x)≥－9

6、恒成立、所以3m－≥－9、解得m≥.答案：m≥6．函数y＝x＋2cosx在[0、]上取得最大值时x的值为________．解析：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx、令1－2sinx＝0、且x∈[0、]时、x＝.当x∈[0、]时、f′(x)≥0、f(x)是单调增函数、当x∈[、]时、f′(x)≤0、f(x)单调递减．∴f(x)max＝f()．答案：7．设m∈R、若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点、则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点、所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex、y

7、2＝－2m、则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1、即m<－.答案：m<－8．已知函数f(x)＝xsinx、x∈R、则f(－4)、f()、f(－)的大小关系为________(用“<”连结)．解析：f′(x)＝sinx＋xcosx、当x∈[、]时、sinx<0、cosx<0、∴f′(x)＝sinx＋xcosx<0、则函数f(x)在x∈[、]上为减函数、∴f()

8、f(x)＝x3－2cx2＋c2x、f′(x)＝3x2－4cx＋c2、f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2、f′(x)＝3x2－8x＋4、令f′(x)>0⇒x<或x>2、f′(x)<0⇒

9、即解得(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx、其定义域是(0、＋∞)、且f′(x)＝x－＝.当x变化时、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1、＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)、单调递增区间是(1、＋∞)．11．已知函数f(x)＝(x>0、x≠1)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若不等式>x对任意实数x恒成立、求实数a的取值范围．解析：(1)函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1、＋∞)、f′(x)＝.令f′(x)＝0、解得x＝e.当x变化时、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x

10、(0,1)(1、e)e(