中考数学重难点突破专题十一:几何、代数最值问题试题【含答案】.doc

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1、专题十一 几何、代数最值问题类型1 利用对称、线段公理求最小值1.(2017·临沂)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是(C)A.6B.10C.2D.2解:由已知得M(6,),N(,6),∴BN=6-,BM=6-,∵△OMN的面积为:6×6-×6×-×6×-×(6-)2=10,∴k=24,∴M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M′,连接NM′交x轴于P,则NM′的长=PM+PN的最小值,∵AM=AM′=4,∴BM′=10,BN=2,∴NM

2、′===2.2.(2017·枣庄)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为(C)A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-,0)D.(-,0)解:(方法一)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图1所示.可求点B(0,4);A(-6,0).∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴点C(-3,2),点D(0,2).∵点D′和点D关于x轴对称,∴点D′的坐标为(0,-2).设直线CD′的解析式为y=kx+b,∵直线CD′过点C(-3,2),D′(0,-2),可求CD

3、′的解析式为y=-x-2.令y=-x-2中y=0,则0=-x-2,解得:x=-,∴点P(-,0).(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图2所示.3.(2017·贵港)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM.若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是(B)A.4B.3C.2D.1解:如图连接PC.在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,∴AB=4,根据旋转不变性可知,A′B′=AB=4,∴A′P=PB′,∴PC=A′B′=2,∵CM

4、=BM=1,又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线).4.(2017·菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是(B)A.(0,)B.(0,)C.(0,2)D.(0,)解:作A关于y轴的对称点A′,连接A′D交y轴于E,则此时,△ADE的周长最小,∵四边形ABOC是矩形,∴AC∥OB,AC=OB,∵A的坐标为(-4,5),∴A′(4,5),B(-4,0),∵D是OB的中点,∴D(-2,0),设直线DA′的解析式为y=kx+b,可求直线DA′的解析式为y=x+,当x=0时,y=,∴

5、E(0,).5.(2017·天水)如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB、PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是__6__.解:连接DE于AC交于点P′,连接BP′,则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值,∵BE=1,BC=CD=4,∴CE=3,DE=5,∴BP′+P′E=DE=5,∴△PBE周长的最小值是5+1=6.6.(2017·徐州)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD,BE(如图1),点O为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由;(2)如图2,若P,

6、N分别为BE,BC上的动点.①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;②如图3,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=____.解:(1)AO=2OD,理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,∴AO=OB,∵BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB=2OD,∴OA=2OD;(2)如图2,作点D关于BE的对称点D′,过D′作D′N⊥BC于N交BE于P,则此时PN+PD的长度取得最小值,∵BE垂直平分DD′,∴BD=BD′,∵∠ABC=60°,∴△BDD′是等边三角形,∴BN=BD=,∵∠PBN=30°,∴=,∴PB=;(3)如图

7、3,作Q关于BC的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,连接Q′D′,则D′Q′的长度即为QN+NP+PD的最小值.在Rt△D′BQ′中,D′Q′==.∴QN+NP+PD的最小值=.类型2 利用函数性质求最值7.(2017·济宁)已知函数y=mx2-(2m-5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围,并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为C1,①

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