第现代控制理论4章3.ppt

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1、第四章李雅普诺夫稳定性分析4.3线性系统的稳定性分析本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。讨论的主要问题有:基本方法:线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析矩阵李雅普诺夫方程的求解线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法。设线性定常连

2、续系统的状态方程为x’=Ax这样的线性系统具有如下特点:1)当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点;2)若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的;3)对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。本节将讨论对线性系统,包括线性定常连续系统、线性时变连续系统和线性定常离散系统,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。定理4-7线性定常连续系统x’=Ax的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程PA+AP=

3、-Q的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。□4.3.1线性定常连续系统的稳定性分析证明过程为：已知满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵P存在,故令V(x)=xPx.由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为V’(x)=(xPx)’=x’Px+xPx’=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q为正定矩阵,故V’(x)为负定函数上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法不需寻找李雅普诺夫函数,不需求解系统矩阵A的特征值,只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。该矩阵方程又称为李

4、雅普诺夫矩阵代数方程。在实际应用中:如果V’(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件为:存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。由定理4-7可知,运用此方法判定系统的渐近稳定性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程:PA+AP=-I求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定线性定常系统的稳定性。例4-9试确定用如下状态

5、方程描述的系统的平衡态稳定性。解设选取的李雅普诺夫函数为V(x)=xPx由定理4-7可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程PA+AP=-I.于是,令对称矩阵P为将P代入李雅普诺夫方程,可得展开后得,有:因此,得如下联立方程组:解出p11,p12和p22,得为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为例4-10控制系统方块图如下图所示。要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。解由图可写出系统的状态方程为不难看出

6、,原点为系统的平衡状态。选取Q为非负定实对称矩阵,则只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹不恒为零。因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立。设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得求得为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为正定。采用合同变换法,有从而得到P为正定矩阵的条件即0

7、续系统的平衡态xe为大范围渐近稳定的充分必要条件为:对有限的t和任意给定的正定矩阵Q(t),都存在一个正定矩阵P(t)为李雅普诺夫矩阵微分方程的解,并且正定函数即为系统的一个李雅普诺夫函数。在实际应用上述判别线性时变连续系统的渐近稳定性时,可令Q(t)=I,则相应的李雅普诺夫矩阵微分方程为并且其解为4.3.3线性离散系统的稳定性分析前两节讨论的为连续系统的李雅普诺夫稳定性的定义和稳定性判据定理,其稳定性定义可延伸至离散系统,但其稳定性判据则有较大差别。下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据